Устойчивость системы линейных алгебраических уравнений

Для оценки влияния изменения (возмущения) правой части f и матрицы коэффициентов А на решение x системы линейных алгебраических уравнений Ax = f введем линейное пространство H векторов размерности m, в котором определим норму, удовлетворяющую условиям [8]:

В пространстве Н в качестве нормы вектора могут быть взяты определения “кубической” и “сферической” норм [9]:

.

Определим норму матрицы (оператора):

.

Из последнего определения, в частности, следуют известные соотношения:

Здесь Е - тождественный оператор, .

В качестве нормы матрицы А может быть взято определение [8]:

,

либо определение [9]:

.

Пусть - “возмущенная” правая часть системы уравнений. Оценим изменение решения как следствие изменения правой части .

Система уравнений Ax=f называется устойчивой по правой части, если - положительная константа.

Это, в частности, означает, что при , то есть имеется непрерывная зависимость решения от правой части.

Пусть определитель матрицы А отличен от нуля. В этом случае существует обратная матрица . В силу линейности системы алгебраических уравнений имеем:

отсюда следует

(2.7)

и роль константы М может выполнять . Чем ближе значение det(A) к нулю, тем больше величина , тем значительнее отклонение d x при возмущении d f.

Из уравнения Ax = f следует оценка

.

Перемножая два последних неравенства, получаем

,

,

где - число обусловленности матрицы А, характеризующее зависимость относительной погрешности решения системы уравнений от относительного “возмущения” правой части. Очевидно, что

.

Пример 2.2. Рассмотрим систему уравнений

Определитель этой системы уравнений отличен от 0, хотя и мал. Матрица коэффициентов представляется в виде

.

Вычисление обратной матрицы приводит к значению

.

Нетрудно убедиться, что определитель обратной матрицы принимает значение

.

При использовании для вычисления нормы матрицы выражения

получаем для рассматриваемого случая:

Теперь можно оценить число обусловленности матрицы А, то есть показатель устойчивости решения при возмущении правой части системы уравнений:

.

Рассмотрим случай одновременного возмущения и правой части d f, и матрицы коэффициентов d A:

.

Для получения полной оценки погрешности решения системы алгебраических уравнений необходимо рассмотреть вспомогательное утверждение:

Лемма 2.1. Пусть С - квадратная матрица, ; Е - единичная матрица. Тогда существует , причем

.