![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Для оценки влияния изменения (возмущения) правой части f и матрицы коэффициентов А на решение x системы линейных алгебраических уравнений Ax = f введем линейное пространство H векторов размерности m, в котором определим норму, удовлетворяющую условиям [8]:
В пространстве Н в качестве нормы вектора могут быть взяты определения “кубической” и “сферической” норм [9]:
.
Определим норму матрицы (оператора):
.
Из последнего определения, в частности, следуют известные соотношения:
Здесь Е - тождественный оператор, .
В качестве нормы матрицы А может быть взято определение [8]:
,
либо определение [9]:
.
Пусть - “возмущенная” правая часть системы уравнений. Оценим изменение решения
как следствие изменения правой части
.
Система уравнений Ax=f называется устойчивой по правой части, если - положительная константа.
Это, в частности, означает, что при
, то есть имеется непрерывная зависимость решения от правой части.
Пусть определитель матрицы А отличен от нуля. В этом случае существует обратная матрица . В силу линейности системы алгебраических уравнений имеем:
отсюда следует
(2.7)
и роль константы М может выполнять . Чем ближе значение det(A) к нулю, тем больше величина
, тем значительнее отклонение d x при возмущении d f.
Из уравнения Ax = f следует оценка
.
Перемножая два последних неравенства, получаем
,
,
где - число обусловленности матрицы А, характеризующее зависимость относительной погрешности решения системы уравнений от относительного “возмущения” правой части. Очевидно, что
.
Пример 2.2. Рассмотрим систему уравнений
Определитель этой системы уравнений отличен от 0, хотя и мал. Матрица коэффициентов представляется в виде
.
Вычисление обратной матрицы приводит к значению
.
Нетрудно убедиться, что определитель обратной матрицы принимает значение
.
При использовании для вычисления нормы матрицы выражения
получаем для рассматриваемого случая:
Теперь можно оценить число обусловленности матрицы А, то есть показатель устойчивости решения при возмущении правой части системы уравнений:
.
Рассмотрим случай одновременного возмущения и правой части d f, и матрицы коэффициентов d A:
.
Для получения полной оценки погрешности решения системы алгебраических уравнений необходимо рассмотреть вспомогательное утверждение:
Лемма 2.1. Пусть С - квадратная матрица, ; Е - единичная матрица. Тогда существует
, причем
.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 1542 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!