![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Метод квадратного корня предназначен для решения систем линейных алгебраических уравнений вида Ax = f с симметричной матрицей коэффициентов .
Метод основан на разложении матрицы коэффициентов А в произведение
, (2.4)
где S - верхняя треугольная матрица с положительными значениями на главной диагонали; D - диагональная матрица со значениями +1 или -1.
Согласно теореме 2.1 при неравенстве нулю всех угловых миноров матрицу А можно разложить в произведение A = LU.
Представим нижнюю треугольную матрицу L с ненулевыми коэффициентами на главной диагонали в виде произведения N×K, где N - нижняя треугольная матрица с единицами на главной диагонали, К - диагональная матрица, причем :
После перемножения матриц N и K получаем систему линейных уравнений относительно величин :
Очевидно, что
С учетом этого коэффициенты матриц N и K можно представить в общем виде
;
.
Теперь матрицу А можно представить разложением
A = NKU. (2.5)
Благодаря симметрии матрицы А имеет место равенство , что позволяет произвести следующие преобразования:
,
,
,
.
В силу того, что являются диагональными матрицами,
- нижние треугольные,
- верхние треугольные, в левой части последнего равенства находится нижняя треугольная матрица, а в правой части - верхняя треугольная. Равенство возможно лишь при условии, что и в левой, и в правой частях этого тождества расположены диагональные матрицы.
Матрицы имеют единицы на главной диагонали; следовательно, их произведение также содержит единичную главную диагональ, то есть
.
Отсюда следует, что соотношение (2.5) можно переписать в виде
.
Далее, представим матрицу K в виде
,
где
.
Сравнивая теперь соотношение с формулой (2.4), получаем для матрицы S выражение
, то есть верхнюю треугольную матрицу с положительными элементами на главной диагонали. Таким образом, конструктивно показано разложение (2.4).
Обозначим , тогда алгоритм метода квадратного корня
можно рассматривать как последовательность трех процессов:
, то есть вычисление решения z системы уравнений с нижней треугольной матрицей;
2) Dy = z, вычисление решения системы уравнений с диагональной матрицей;
3) Sx = y, определения из системы уравнений с верхней треугольной матрицей искомого решения.
Построим разложение вида (2.4) для симметричной матрицы третьего ранга:
.
Положим , тогда из уравнения
получим
.
Далее, из уравнения следует, что
.
В силу условия и теоремы 2.2 можно ожидать, что
. Аналогично можно вычислить
;
.
Полагая , получим
- в силу упомянутого условия .
;
Нетрудно убедиться, что также .
Рассмотрим процедуру построения матриц S и D в случае произвольного числа уравнений m.
Верхняя треугольная матрица по определению имеет нулевые элементы:
. (2.6)
Диагональная матрица D может быть определена формально с использованием символа Кронекера . Теперь можно подсчитать результат перемножения матриц:
Из последнего выражения с учетом соотношения (2.6) получаем систему алгебраических уравнений:
.
При i = j получаем соотношения для вычисления диагональных значений матриц S и D:
“Наддиагональные” элементы матрицы S определяются по формулам
.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 894 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!