Метод квадратного корня

Метод квадратного корня предназначен для решения систем линейных алгебраических уравнений вида Ax = f с симметричной матрицей коэффициентов .

Метод основан на разложении матрицы коэффициентов А в произведение

, (2.4)

где S - верхняя треугольная матрица с положительными значениями на главной диагонали; D - диагональная матрица со значениями +1 или -1.

Согласно теореме 2.1 при неравенстве нулю всех угловых миноров матрицу А можно разложить в произведение A = LU.

Представим нижнюю треугольную матрицу L с ненулевыми коэффициентами на главной диагонали в виде произведения N×K, где N - нижняя треугольная матрица с единицами на главной диагонали, К - диагональная матрица, причем :

После перемножения матриц N и K получаем систему линейных уравнений относительно величин :

Очевидно, что

С учетом этого коэффициенты матриц N и K можно представить в общем виде

;

.

Теперь матрицу А можно представить разложением

A = NKU. (2.5)

Благодаря симметрии матрицы А имеет место равенство , что позволяет произвести следующие преобразования:

,

,

,

.

В силу того, что являются диагональными матрицами, - нижние треугольные, - верхние треугольные, в левой части последнего равенства находится нижняя треугольная матрица, а в правой части - верхняя треугольная. Равенство возможно лишь при условии, что и в левой, и в правой частях этого тождества расположены диагональные матрицы.

Матрицы имеют единицы на главной диагонали; следовательно, их произведение также содержит единичную главную диагональ, то есть

.

Отсюда следует, что соотношение (2.5) можно переписать в виде

.

Далее, представим матрицу K в виде

,

где

.

Сравнивая теперь соотношение с формулой (2.4), получаем для матрицы S выражение , то есть верхнюю треугольную матрицу с положительными элементами на главной диагонали. Таким образом, конструктивно показано разложение (2.4).

Обозначим , тогда алгоритм метода квадратного корня можно рассматривать как последовательность трех процессов:

, то есть вычисление решения z системы уравнений с нижней треугольной матрицей;

2) Dy = z, вычисление решения системы уравнений с диагональной матрицей;

3) Sx = y, определения из системы уравнений с верхней треугольной матрицей искомого решения.

Построим разложение вида (2.4) для симметричной матрицы третьего ранга:

.

Положим , тогда из уравнения получим .

Далее, из уравнения следует, что

.

В силу условия и теоремы 2.2 можно ожидать, что . Аналогично можно вычислить

;

.

Полагая , получим

- в силу упомянутого условия .

;

Нетрудно убедиться, что также .

Рассмотрим процедуру построения матриц S и D в случае произвольного числа уравнений m.

Верхняя треугольная матрица по определению имеет нулевые элементы:

. (2.6)

Диагональная матрица D может быть определена формально с использованием символа Кронекера . Теперь можно подсчитать результат перемножения матриц:

Из последнего выражения с учетом соотношения (2.6) получаем систему алгебраических уравнений:

.

При i = j получаем соотношения для вычисления диагональных значений матриц S и D:

“Наддиагональные” элементы матрицы S определяются по формулам

.