 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Итерационные методы решения
|
|
Итерационными называются методы, при которых решение системы уравнений (2.1) получается как предел некоторой последовательности.
Вновь рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений с отличным от нуля определителем det(A), которую представим в компонентной форме
.
Преобразуем эту систему к виду
,
.
Метод Якоби [9]
Последнее выражение представим в виде итерационной схемы
, (2.9)
где n - номер итерации. Для получения решения используется следующий алгоритм. В качестве нулевого приближения выбираются какие-либо (зачастую произвольные) значения 
искомых величин, которые подставляются в правую часть выражения (2.9), что позволяет определить первое приближение неизвестных 
. Затем полученный результат вновь подставляется в правую часть выражения (2.9) и вычисляются 
, и так далее. Вычислительный процесс заканчивается, например, когда выполняется условие
,
где e > 0 - заданная точность вычисления результата.
Пример 2.3. Рассмотрим систему алгебраических уравнений
Точное решение этой системы x = 0,5, y=1,5.
Из первого уравнения выразим первую неизвестную x
,
а из второго - неизвестную y,
.
Представим полученные выражения в виде итерационной схемы
В качестве начального приближения примем 
. Результаты расчетов сведены в табл. 2.1. На рис. 2.1 графически показан ход выполнения итерационного процесса метода Якоби.
Таблица 2.1
Результаты выполнения итерационной процедуры метода Якоби
| n | x(n) | y(n) |
| 1,25 | 1,8 | |
| 0,35 | 1,05 | |
| 0,725 | 1,59 | |
| 0,255 | 1,365 | |
| 0,5675 | 1,527 | |
| 0,4865 | 1,4595 | |
| 0,5203 | 1,5081 | |
| 0,4959 | 1,4879 | |
| 0,5061 | 1,5024 | |
| 0,4988 | 1,4964 | |
| 0,5018 | 1,5007 | |
| 0,4996 | 1,4989 | |
| 0,5005 | 1,5002 |
Представим матрицу коэффициентов А в виде суммы 
, где 
- нижняя треугольная матрица с нулевой диагональю; 
- верхняя треугольная матрица с нулевой диагональю; 
- диагональная матрица. Теперь систему уравнений Ax = f можно представить в виде:
и метод Якоби будет выглядеть следующим образом:
.
Учитывая, что 
, последнее выражение можно также представить в форме
. (2.10)
Y 
4x + 2y = 5
3x + 5y = 9
0 X
0 1 2 3
Рис. 2.1. Схема выполнения метода Якоби
Метод Зейделя [10]
Преобразуем выражение (2.9) к виду
, (2.11)
где n - также номер итерации. В отличие от метода Якоби, теперь для вычисления очередной неизвестной используются найденные на этой же итерации значения всех предыдущих величин. Как и ранее, вычислительный процесс заканчивается, когда выполняется условие:
,
e>0 - заданная точность вычисления результата.
Пример 2.4. Рассмотрим систему алгебраических уравнений, указанную в предыдущем примере:
Представим полученные выражения в виде итерационной схемы:
Это означает, что для нахождения величины y на (n+1) итерации используется значение x, только что вычисленное на этой же итерации. В качестве начального приближения также примем . Результаты расчетов сведены в табл. 2.2. На рис. 2.2 графически показан ход выполнения итерационной процедуры Зейделя.
Как и в предыдущем случае, представим матрицу коэффициентов А в виде суммы с теми же обозначениями. Метод Зейделя можно представить в форме
.
Учитывая, как и ранее, что 
, последнее выражение можно записать в виде итерационной схемы
. (2.12)
Таблица 2.2
Результаты выполнения итерационной процедуры метода Зейделя
| n | x(n) | y(n) |
| 1,25 | ||
| 1,05 | ||
| 0,725 | ||
| 1,365 | ||
| 0,5675 | ||
| 1,4595 | ||
| 0,5203 | ||
| 1,4879 | ||
| 0,5061 | ||
| 1,4964 | ||
| 0,5018 | ||
| 1,4989 | ||
| 0,5005 | ||
| 1,4997 |
Y
4x + 2y = 5
3x + 5y = 9
0 X
0 1 2 3
Рис. 2.2. Схема выполнения метода Зейделя
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 219 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
