Доказательство. Для любого x имеет место неравенство

Для любого x имеет место неравенство

, (2.8)

где - по условию леммы.

Рассмотрим однородное уравнение (E + C)x = 0. Из неравенства (2.8) следует

,

что возможно лишь при , откуда следует, что x = 0. Иными словами, однородное уравнение (E + C)x = 0 имеет только тривиальное решение. Но это означает, что определитель det(E + C) не равен нулю, то есть существует обратная матрица .

Теперь рассмотрим уравнение

(E + C)x = y,

имеющее решением . С помощью выражения (2.8) получаем

,

.

Последним неравенством воспользуемся для подсчета нормы

.

Что и требовалось доказать.

Теорема 2.3. Пусть матрица А имеет обратную и выполнено условие

.

Тогда матрица имеет обратную и справедлива оценка погрешности