Примеры. I.Исследовать функцию и построить её график

I. Исследовать функцию и построить её график.

1) Область определения функции: ; — точка разрыва 2-го рода;

2) функция не является ни чётной, ни нечётной (так как не выполняются равенства для всех из области определения функции); функция не является периодической;

3) найдём .

Имеем: при ; при . Получаем следующее распределение знаков , по которому мы определяем, на каких интервалах функция возрастает, а на каких — убывает:

x
y'	—		+	∞	—
y		Точка минимума		Точка разрыва

Так как знак при переходе через точку изменяется с «—» на «+», то в этой точке у функции минимум, причём ;

4) Найдём . Очевидно, что при . Поэтому точек перегиба нет, а график функции вогнутый всюду;

x
y'’	+	∞	+
y		Точка раз-рыва

5) Найдём асимптоты графика. Прямая — вертикальная асимптота, так как — точка разрыва 2-го рода. Ищем наклонные асимптоты вида . Имеем:

; . Поэтому — наклонная асимптота при .

6) Найдём точки пересечения графика с осями координат. Для этого в общем случае надо взять и найти соответствующее значение . Затем взять и найти соответствующее значение . В данном случае получаем только одну такую точку: .

7) Построить график функции по результатам этого исследования. Для этого сначала строим асимптоты (если они есть), и указываем опорные точки: экстремумы, точки перегиба, точки пересечения с осями координат.

1

Рис. 2

Замечание. График функции асимптоту не пересекает, так как уравнение не имеет решений.

II. Исследовать функцию и построить её график.

¨ 1) Область определения функции: ; — точки разрыва.2-го рода;

2) Функция нечётная, т.е. ; функция не является периодической.

3) Найдём . Имеем: при ; при . Получаем следующее распределение знаков , по которому мы определяем, на каких интервалах функция возрастает, а на каких — убывает.

x
y'	—		+	∞	+		+	∞	+		—
y		Т.мин.		Точка разр.				Т. разр.		Т. макс.

Так как знак при переходе аргумента через точки меняется, то в этих точках — экстремумы, причём , .

4) Найдём . Очевидно, что при ; при . Получаем следующую расстановку знаков , по которой мы определяем, на каких интервалах график функции выпуклый, а на каких — вогнутый.

x
y'’	+	∞	—		+	∞	—
y		Т.раз-рыва.		Т. пере-гиба		Т.раз-рыва

5) Найдём асимпоты графика. Прямые — вертикальные асимптоты, так как — точки разрыва 2-го рода. Ищем наклонные асимптоты вида . Имеем:

; . Поэтому — наклонная асимптота при .

6) Найдём точки пересечения графика с осями координат. В данном случае получаем только одну такую точку .

7) Построим график по результатам этого исследования:

-3 3

Рис. 3

Перечень вариантов домашней контрольной работы по теме

«Исследование функций и построение их графиков»

1) а) ; б) ;

2) а) ; б) ;

3) а) ; б) ;

4) а) ; б) ;

5) а) ; б) ;

6) а) ; б) ;

7) а) ; б) ;

8) а) ; б) ;

9) а) ; б) ;

10) а) ; б) ;

11) а) ; б) ;

12) а) ; б) ;

13) а) ; б) ;

14) а) ; б) ;

15) а) ; б) ;

16) а) ; б) ;

17) а) ; б) ;

18) а) ; б) ;

19) а) ; б) ;

20) а) ; б) ;

21) а) ; б) ;

22) а) ; б) ;

23) а) ; б) ;

24) а) ; б) ;

25) а) ; б) ;

26) а) ; б) ;

27) а) ; б) ;

28) а) ; б) ;

29) а) ; б) ;

30) а) ; б) ;

31) а) ; б) ;

32) а) ; б) ;

33) а) ; б) ;

34) а) ; б) ;

35) а) ; б) ;

36) а) ; б) ;

37) а) ; б) ;

38) а) ; б) ;

39) а) ; б) ;

40) а) ; б) ;

Список литературы

1) И.Л. Соловейчик, В.Т. Лисичкин. Сборник задач по математике с решениями для техникумов. М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2003, 464 стр.

2) В.С. Шипачёв. Задачи по высшей математике. М.: Высшая школа; 1997; 304 стр.

3) Д.Т. Письменный. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. М.: Айрис-пресс, 2004; 288 стр.

Издание учебное