Нахождение интервалов возрастания (убывания) функции, экстремумов, интервалов выпуклости (вогнутости), точек перегиба, асимптот графика функции

Определение. Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если окрестность точки вида , такая что для из этой окрестности. Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции .

Определение. Функция называется возрастающей (убывающей) на числовом промежутке , если для таких, что :

.

Определение. Точка , в которой функция определена, но либо , либо , либо не существует, называется критической точкой 1-го рода.

Как определять интервалы возрастания (убывания) функции и точки экстремума:

1) Найти ; 2) определить критические точки 1-го рода для ; 3) нанести эти точки, а также точки разрыва функции, на числовую ось; 4) определить знак в каждом из интервалов, на которые эти точки разбивают числовую ось.

Если на рассматриваемом интервале, то возрастает (убывает) на этом интервале. Если при переходе аргумента через критическую точку слева направо меняет знак с «+» на «—» (с «+» на «—»), то — точка максимума (минимума). Если смены знака не происходит, то в точке нет экстремума. Заметим, что все вышеуказанные данные можно поместить в таблицу, как это сделано в приводимых далее примерах.