Уравнение касательной и нормали к кривой. Угол между кривыми. Дифференциал функции. Приближённое вычисление значения функции в точке

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:

. (1)

Если , то ; если , то .

Определение. Нормаль к кривой в точке — это прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной.

Уравнение нормали к кривой в точке имеет вид:

. (2)

Если , то ; если , то .

касательная случай случай

нормаль

Рис. 1

Определение. Угол между кривыми , в их общей точке — это острый угол между касательными к ним в этой точке. Для вычисления используют формулу:

. (3)

Определение. Предположим, что приращение функции в точке может быть представлено в виде

,

где — приращение аргумента в точке , функция такова, что , а - некоторая константа. Первое слагаемое в этом выражении называют дифференциалом функции в точке и обозначают через , т.е.:

.

Приращение обычно обозначают через и называют дифференциалом независимой переменной. Таким образом,

.

Можно показать, что и, следовательно,

.

Приближённое вычисление значения функции в заданной точке.

Для этого используется формула:

. (4)

Примеры

1) Написать уравнения касательной и нормали к кривой в точке .

¨ Найдём . Поэтому, согласно формулам (1) и (2):

— уравнение касательной (или );

— уравнение нормали (или ).

2) Найти угол между кривыми и , а также угол между касательной к кривой в точке и осью .

¨ Найдём точку пересечения этих кривых. Для этого решим уравнение . Оно имеет единственное решение . Найдём , . Далее воспользуемся формулой (3):

.

Поэтому . Как известно (см. геометрический смысл производной), . Поэтому .

3) Вычислить приближённо: а) ; б) .

¨ Во всех случаях подбираем так, чтобы число было искомым, а легко бы определялось. Далее пользуемся формулой (4).

а) Возьмём , . Тогда , , ;

б) Возьмём , . Тогда , , .