Примеры. 1)Найти экстремумы и интервалы возрастания (убывания) функции

1) Найти экстремумы и интервалы возрастания (убывания) функции .

¨ Найдём . Тогда при . Нанесём эти точки на числовую ось и укажем сверху знаки в каждом из полученных интервалов. Внизу, под осью, укажем при помощи наклонных стрелочек характер поведения функции: убывание или возрастание функции. Затем, под критическими точками укажем, какими точками они являются — максимума или минимума (используя правило, данное выше).

x		-1
Y'	—		+		—		+
y		Т. мин.		Т. макс.		Т. мин.

2) Найти экстремумы и интервалы возрастания (убывания) функции .

¨ Найдём . Тогда при . Имеем:

x
y'	—	∞	+
y		Т. мин.

Определение. График функции называется выпуклым (вогнутым) на , если он расположен ниже (выше) касательной, проведённой в каждой точке ; точка графика функции , отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Определение. Точка , в которой определена, но либо , либо , или не существует, называется критической точкой 2-го рода.

Как определять интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика функции:

1) Найти ; 2) определить критические точки 2-го рода для ; 3) нанести эти точки, а также точки разрыва функции, на числовую ось;4) определить знак в каждом из интервалов, на которые эти точки разбивают числовую ось.

Если , то график функции выпуклый (вогнутый) на этом интервале. Если не меняет знак, то в вышеуказанной точке нет перегиба графика функции.

Пример

Найти интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика функции .

¨ Найдём , а затем и . Тогда при . Укажем знаки на каждом из интервалов, на которые разбивают числовую ось эти точки. Внизу, под осью, укажем особенности графика — выпуклый он или вогнутый при помощи условных знаков и, соответственно.

x
y'’	+		+		—		+
y		Нет пере-гиба		Т. пере-гиба		Т. пере-гиба

Определение. Асимптота графика функции — это прямая, такая, что расстояние от переменной точки на графике до прямой стремиться к нулю при неограниченном удалении этой точки по графику от начала координат.

Определение. Прямая называется вертикальной асимптотой, если

(т.е. — точка разрыва 2-го рода).

Определение. Прямая , где , называется наклонной асимптотой. В случае, если , соответствующая прямая называется горизонтальной асимптотой.

Пример

Найти асимптоты графика функции а) ; б) .

¨ а) Так как — точка разрыва 2-го рода, то — вертикальная асимптота графика.

Найдём теперь асимптоты вида . Определим и :

; .

Получаем уравнение наклонной асимптоты: .

б) Вертикальных асимптот у графика нет, так как функция всюду непрерывна. Найдём теперь наклонные асимптоты вида , рассматривая отдельно случаи , .

Так как при , то наклонной асимптоты при нет. При , . Таким образом, уравнение наклонной (горизонтальной) асимптоты при : . Заметим, что для вычисления предела мы использовали правило Лопиталя.