Знаходження рангу матриць з використанням елементарних перетворень

Розглянемо матрицю А розмірністю т×п івведемо ще одне важливе поняття

Означення. Рангомматриці А розмірністю т × п називається найвищий порядок відмінного від нуля мінора, утвореного з елементів матриці.

Зрозуміло, що rang A = r ≤ тin(т, п), а максимально можливий ранг матриці може дорівнювати мінімальному з чисел т і п.

Розглянемо також поняття обвідного мінора k-го порядку. Це буде такий мінор (k+1) - го порядку, який повністю утримує в собі мінор k -гопорядку.

При обчисленні рангу матриці треба переходити від мінорів менших порядків, відмінних від нуля, до мінорів більших порядків. Якщо вже знайдено мінор k- гопорядку М - відмінний від нуля, то треба обчислити лише мінори (k + 1) -го порядку, що обводять мінор М. Якщо всі вони рівні нулю, то ранг матриці дорівнює k. Якщо серед них знайдеться такий, що відмінний від нуля, то далі для нього будуються обвідні мінори (k +2)-го порядку і т.п.

Означення. Елементарними перетвореннями матриці А називаються такі її перетворення:

1) заміна місцями двох рядків або двох стовпців матриці;

2) множення рядка або стовпчика матриці на довільне, відмінне від нуля число;

3) додавання до одного рядка або стовпчика іншого рядка або стовпчика попередньо помноженого на деяке число.

Теорема. Елементарні перетворення не змінюють рангу матриці.

У подальшому матриці, які мають рівні ранги будемо називати еквівалентними матрицями. Еквівалентні матриці будемо об'єднувати ~ (хвилька).

Приклад. Знайти ранг матриці методом обвідних мінорів

Розв’язання

Мінор другого порядку, що стоїть у лівому верхньому куті матриці , але в матриці є і відмінні від нуля мінори другого порядку, наприклад . Далі утворимо мінор третього порядку, який обводить відмінний від нуля мінор другого порядку

Утворимо тепер обвідні мінори четвертого порядку для мінора третього порядку, їх можна утворити лише два:

Обидва вони дорівнюють нулю - це означає, що ранг початкової матриці дорівнює трьом.

Відповідь. Ранг початкової матриці дорівнює трьом.

Приклад. Знайти ранг матриці за допомогою елементарних перетворень:

Розв’язання

Використаємо спочатку елементарні перетворення матриці:

1) поміняємо місцями перший і другий стовпчики:

~ ~

2) аналогічно до того, як утворювали нулі в рядках або в стовпчиках при обчисленні визначників, утворимо нулі в першому стовпчику помноживши елементи першого рядка спочатку на -4 і складемо з другим, потім на -1 і складемо з третім, і нарешті на 2 і складемо з четвертим, одержимо матрицю, що записана після першої хвильки. Помножимо тепер елементи першого стовпчика послідовно на -2, -1,-3 і зробимо відповідне додавання, одержимо вигляд матриці після другої хвильки.

3) помножимо другий рядок одержаної матриці на , третій на , четвертий на , одержимо:

~ ~

Зробимо знову елементарні перетворення аналогічно 2), але використовувати будемо другий рядок і другий стовпчик матриці. З остаточного вигляду матриці після виконання елементарних перетворень випливає, що її ранг дорівнює 2, тому що єдиний мінор другого порядку , всі інші більш високого порядку дорівнюють нулю.

Відповідь. rang = 2.

Приклади для самостійного розв’язування

1. Знайти ранг методом обвідних мінорів:

а) ; б)

3. Знайти ранг матриці методом елементарних перетворень:

а) ; б) ;

в)

Тема 3.1. Векторна алгебра

Тема 3.2. Аналітична геометрія