 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Приклади
|
|
1. При A ={ a, b, c } перестановками з повтореннями складу (1, 0, 2) є послідовності (a, c, c), (c, a, c), (c, c, a), складу (1, 1, 1) – (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a).
2. Нехай m різних кульок розкладаються по n різних ящиках так, що в першому ящику k 1 кульок, у другому – k 2 кульок, …, у n -му – kn кульок, причому m = k 1+ k 2+…+ kn. Пронумеруємо кульки від 1 до m, ящики – від 1 до n. Задамо розподілення кульок як функцію, яка ставить у відповідність номеру кульки номер ящика, куди вона потрапила. Отже, маємо послідовність довжини m = k 1+ k 2+…+ kn, в якій номери 1, 2, …, n повторюються k 1, k 2, …, kn разів відповідно. Очевидно, що така функція відповідає розкладу кульок взаємно однозначно. Таким чином, розклад подається як перестановка з повтореннями складу (k 1, k 2, …, kn).
Кількість перестановок з повтореннями з елементів множини A ={ a 1, a 2, …, an } складу (k 1, k 2, …, kn) позначається P (k 1, k 2, …, kn) і виражається формулою:
P (k 1, k 2, …, kn)= 
.
Означення. Біном Ньютона – це вираз вигляду (a+b)n.
Біном розкладається в суму одночленів, які є добутками деяких степенів його доданків a і b. Школярі-восьмикласники знають формули розкладу бінома Ньютона в многочлен із степенями a і b при n=2 та 3:
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.
Спробуємо розкласти (a+b)n в многочлен у загальному випадку n. Запишемо його у вигляді, пронумерувавши дужки:
1 2 … n
(a+b)(a+b)…(a+b).
Очевидно, що кожний доданок містить n множників – k множників a і n-k множників b, тобто має вигляд akbn-k, де k£n, k³0. Кожний такий доданок взаємно однозначно відповідає підмножині номерів дужок, з яких для утворення цього доданка ми брали множники a. Таким чином, доданків akbn-k рівно стільки, скільки таких підмножин, тобто 
= 
. Отже,
(a+b)n = 
Коефіцієнти при akbn-k називаються біноміальним и, оскільки записуються в розкладі бінома (a+b)n.
Біноміальні коефіцієнти мають очевидну властивість симетрії:
= 
=. .
Розглянемо окремі випадки бінома Ньютона:
при b=1 маємо (a+1)n = 
,
при a=b=1 маємо (1+1)n = 2n = 
,
при a= –1, b=1 маємо (–1+1)n = 0n = (–1)k.
За останньою рівністю, зокрема, природно означити 00 як 1.
Запишемо біноміальні коефіцієнти для початкових значень n=0, 1, …, 5 у трикутну таблицю:
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
З таблиці видно, що кожний елемент, який не є першим у своєму рядку, є сумою елемента над ним і елемента, розташованого над ним і ліворуч:
= 
+ 
Ця тотожність називається правилом додавання.
Таблиця біноміальних коефіцієнтів зображається ще у вигляді так званого арифметичного трикутника, або трикутника Паскаля:
1 1
1 2 1
1 3 3 1
………….…
Розв’язування комбінаторних задач
СХЕМА РОЗВ’ЯЗУВАННЯ КОМБІНАТОРНИХ ЗАДАЧ
Розглянемо деякі приклади застосування наведених формул.
Задача. Скільки трицифрових чисел можна утворити з допомогою трьох різних цифр, відмінних від 0.
Розв’язання
Відповідь. Шість трицифрових чисел можна утворити з допомогою трьох різних цифр, відмінних від 0.
Задача. Скількома способами можна розмістити 6 учнів за 6 партами по одному за партою?
Розв’язання
Відповідь. 720 способами можна розмістити 6 учнів за 6 партами по одному за партою
Задача. Скільки різних послідовностей із 3 букв можна скласти?
Розв’язання
Послідовності букв відрізняються між собою або буквами, або порядком їх розміщення. Отже слід знайти число розміщень з 33 елементів по 3 (вважаємо, що в алфавіті 33 букви).
Відповідь. 32736 різних послідовностей із 3 букв можна скласти.
Задача. Скількома різними способами можна вибрати з 30 чоловік делегацію в складі 3 осіб?
Розв’язання
Різними вважатимемо ті делегації, які відрізняються хоча б однією особою. Кількість комбінацій з 30 по 3:
Відповідь. 4060 різними способами можна вибрати з 30 чоловік делегацію в складі 3 осіб
Приклад. Знайти восьмий член розкладу (х-а)12.
Розв’язання
(х-а)12=(х+(-а))12.
За формулою бінома Ньютона маємо:
Відповідь. Восьмий член розкладу (х-а)12 становить -1584а7х5.
Приклади для самостійного розв’язування
Скiльки рiзних слiв можна скласти переставляючи лiтери у словi “математика”, “парабола”, “перемирря”?
У поштовому вiддiленнi продаються листiвки 10 сортiв. Скiлькома способами можна купити в ньому 12 листiвок? Скiлькома способами можна купити 8 листiвок, 8 рiзних листiвок?
Скiльки рiзних 4 -х значних чисел, якi дiляться на 4 можна скласти з цифр: 1,2,3,4,5, якщо кожна цифра може зустрiчатися у запису числа кiлька разiв?
Скiльки рiзних браслетiв можна скласти з 5 однакових смарагдiв, 6 однакових рубiнiв i 7 однакових сапфирiв. До браслету входять всi 18 каменiв.
Людина має 6 друзiв і на протязi 20 днiв щодня запрошує до себе 3 з них так, що компанiя жодного разу не повторюється. Скiлькома способами можна це зробити?
Компанiя, яка складається з 10 подружнiх пар розбивається на 5 груп по 4 людини для прогулянки на човнах. Скiлькома способами можна розбити компанію так, щоб в одному човнi були 2 чоловiкiв та 2 жiнок?
Тема 2.1. Матриці та визначники
Тема 2.2. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
2.1. Матриці та визначники
Література
1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів: Вища математика. – К.: Національна академія управління, 1997. – 397 с. (с.72 - 97).
2. Вища математика: Навч.-метод.посібник для самост.вивч.дисц. / К.Г.Валеєв, І.А.Джалладова, О.І.Лютий та ін. – К.: КНЕУ, 1999. – 396 с. (с. 8 - 37).
3. Лейфура В.М. Математика: Підручник. / В.М.Лейфура, Г.І.Голодницький, Й.І.Файст; За ред. Лейфури В.М.- Київ: "Техніка", 2003. - 640 с. (с. 39 - 50).
4. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник. Под ред. Г.Н.Яковлева. – М.: Наука, 1987. – 464 с. (с. 100 - 116).
5. Овчинников П.П. та ін. Вища математика: Підручник. – К.: Техніка, 2000. – 592 с. (с. 23 - 35, 64 - 79).
Питання, що виносяться на самостійну роботу:
· Розв’язування матричних рівнянь
· Знаходження рангу матриць з використанням елементарних перетворень
Розв’язування матричних рівнянь
Означення. Рівняння виду А∙Х = В; У∙С = Д, де А, В, С, Д – відомі матриці, а X, У - невідомі матриці називаються матричними рівняння.
Означення. Розв’язати матричне рівняння означає знайти невідому матрицю при підстановці якої в рівняння воно перетворюється в правильну рівність.
Розв’язування матричних рівнянь:
А∙Х = В | А-1 зліва У∙С = Д | С-1 справа
A-1∙A∙X = A-1∙B У∙С∙С-1 = Д∙С-1
А-1∙А = Е, Е - одинична матриця. О∙С-1 = Е
ЕХ = А-1В У∙Е = Д∙С-1
X = А-1 В У = Д∙С-1
А-1 і С-1 матриці обернені відповідно до матриць А і С.
Висновок: Таким чином, щоб розв'язати матричне рівняння необхідно знайти матриці обернені до матриць, що записані біля невідомих матриць і домножити праву частину на обернені матриці зліва або справа.
Приклад. Розв’язати матричне рівняння:
У (А - В) = 2А + В, в якому 
; 
Розв’язання
Позначимо матрицю С = А – В і знайдемо її:
С = А – В = 
- 
= 
Позначимо матрицю Д = 2А + В і знайдемо її:
Д =2 А + В = 2 + = = 
+ = 
Рівняння приймає вигляд У ∙ С = Д → У = Д ∙ С-1
Знайдемо матрицю обернену матриці С.
Знайдемо алгебраїчні доповнення:
Тоді обернена матриця: 
Знайдемо розв’язок рівняння:
Відповідь. 
Приклади для самостійного розв’язування
Розв’язати матричні рівняння:
1. а) 
; б) 
2. А ∙ Х = В, в якому 
; 
3. а) (А + 2В) Х = А – В, в якому 
; 
б) (А + 2В) Х = А + В, в якому 
; 
в) У ∙ (А + В) = А2, в якому 
; 
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 2028 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
