Автор-укладач Родер Н.А

Навчально-методичний посібник „Вища математика” рекомендований для використання в учбових закладах 1-го та 2-го рівнів акредитації для спеціальностей 5.03050901 „Бухгалтерський облік”, 5.03050801 „Фінанси і кредит”, 5.03050401 „Економіка підприємства” ІІ курсу денного та заочного відділень. Посібник складено у відповідності з навчальною програмою з дисципліни „Вища математика”.

Тема 1.1. Вступ. Множини та операції над ними

Тема 1.2. Комбінаторика. Біном Ньютона

1.1. Вступ. Множини та операції над ними

Література

1. Вища математика: Навч.-метод.посібник для самост.вивч.дисц. / К.Г.Валеєв, І.А.Джалладова, О.І.Лютий та ін. – К.: КНЕУ, 1999. – 396 с. (с. 213 - 244).

2. Лейфура В.М. Математика: Підручник/ В.М.Лейфура, Г.І.Голодницький, Й.І.Файст; За ред. Лейфури В.М.- Київ: "Техніка", 2003. - 640 с. (с. 28 - 35, 52 - 68).

3. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник. Под ред. Г.Н.Яковлева. – М.: Наука, 1988. – 272 с. (с. 9 - 40).

4. Овчинников П.П. та ін. Вища математика: Підручник. – К.: Техніка, 2000. – 592 с. (с. 290 - 300).

5. Шкіль М.І.Алгебра і початки аналізу – Зодіак-ЕКО, 2001. – 656 с. (с.427-455).

Питання, що виносяться на самостійну роботу:

· Перехід від алгебраїчної форми запису комплексного числа до тригонометричної, показникової і навпаки

· Розв’язування квадратних рівнянь з від’ємним дискримінантом

· Поняття про прості і складні відсотки, їх застосування у конкретних задачах

Перехід від алгебраїчної форми запису комплексного числа до тригонометричної, показникової і навпаки

Комплексні числа не є числами в елементарному значенні цього слова, що застосовуються при підрахунках і вимірюваннях, а є математичними об'єктами, які визначаються поданими нижче властивостями.

z = r (cos φ + i sin φ) - тригонометрична форма

z = re^iφ - показникова форма

Перехід від алгебраїчної форми до тригонометричної форми і показникової здійснюється за слідуючим алгоритмом:

1. Знайти модуль комплексного числа за формулою:

2. Знайти аргумент комплексного числа.

Для цього знайти тангенс допоміжного кута φ, за формулою:

Зобразити комплексне число на координатній площині і визначити в якій чверті лежить радіус-вектор.

3. Якщо:

φ - І чверть, то φ = φ₁

φ - II чверть, то φ = π – φ₁

φ - III чверть, то φ = π + φ₁

φ - IV чверть, то φ = 2π – φ₁

4.Записати число в тригонометричній або в показниковій формах.

Приклад. Записати число z = -1 + і в тригонометричній і показниковій формах.

Розв’язання

z = -1 + a = -1; b =

1) ;

2) ,

у

φ – ІІ чверть

φ

-1 х

φ = π – φ₁ = φ = π – π/3 = 2π/3

Тоді тригонометрична форма запису комплексного числа має вигляд: , а показникова .

Відповідь. Тригонометрична форма запису комплексного числа має вигляд: , а показникова .

Перехід від показникової форми до алгебраїчної здійснюють таким чином: записують число в тригонометричній формі, а потім обчислюють значення синуса і косинуса.

Приклад. Записати число в алгебраїчній формі: .

Розв’язання

Запишемо число в тригонометричній формі: z = 6, φ = = 300°

Z = 6(cos300°+і sin300°)

Обчислимо значення синуса і косинуса:

сos 300° = сos(360° - 60°) = сos 60° = 1/2

sin 300° = sin(360° - 60°) = - sin 60° =

Підставимо значення: Z = 6

Відповідь.

Приклади для самостійного розв’язування

1. Записати числа в тригонометричній і показниковій формах:

а) z = 5; в) z = -4i;

б) z = -2 - 2i; г) z = ;

д) z = .

2. Виконайте дії:

а) ()⁶; в) (-1 - i)⁶;

б) ; г)

3. Виконати дії і результат записати в алгебраїчній формі:

a) Z = 2(cos 40° + і sin 40°) ∙ 4(cos 110° + і sin 110°);

б) Z = 3(cos 250° + і sin 250°): ( сos 40° + і sin 40°);

в) Z = (2(cos 20° + і sin 20°))⁶;

г) Z = - .

Розв’язування квадратних рівнянь з від’ємним дискримінантом

При побудові множини комплексних чисел була забезпечена виконуваність дії добування квадратного кореня з від’ємних чисел. Розглянемо цю дію. Зауважимо, що існують два і тільки два значення квадратного кореня з -1, а саме: і та -і. Умовно це записують так: = ± і. Аналогічно існує два і тільки два значення квадратного кореня з числа -а, а саме: та - , де під розуміють арифметичний корінь. Умовно це записують так: = ± , наприклад = ±8і, = ± 0,12і.

Розглянемо тепер розв'язування квадратних рівнянь з від’ємними дискримінантами. Нагадаємо, що до введення множини комплексних чисел вважалося, що такі рівняння не мають коренів.

Нехай дано рівняння x² + 8х + 17 = 0. Маємо: х_1,2 = - 4 ± , або х_1,2 = - 4 ± . Враховуючи попереднє зауваження, це можна записати так: х₁ = -4 + і, х₂ = -4 - і. Корені х₁ та х₂ є спряженими комплексними числами. Взагалі, будь-яке квадратне рівняння з дійсними коефіцієнтами і від’ємним дискримінантом має два комплексні спряжені корені. Можна довести, що й для таких рівнянь виконується теорема Вієта. Наприклад, для розглянутого вище рівняння х₁ + х₂ = (-4 + і) + (-4 - і) = -8; х₁ х₂ = (-4 - і) (-4 - і) = 16 + 1 = 17, тобто сума коренів дорівнює коефіцієнту при х з протилежним знаком, а добуток коренів - вільному члену.

Приклад. Розв’язати рівняння:

а) х² – 4х + 5 = 0.

Маємо: х_1,2 = 2 ± ; х_1,2 = 2 ± і.

б) z² + 6z +13 = 0.

Маємо: z_1,2 = -3 ± ; z_1,2 ⁼ -3 ± 2і.

в) 4х² + 3х + 1 = 0.

Маємо: х_1,2 = ,

х_1,2 = .

Розглянемо приклад на складання квадратного рівняння з дійсними коефіцієнтами за його коренями.

Нехай х₁ = 3 - і, х₂ = 3 + і.

х₁ + х₂ = (3 - і) + (3 + і) = 6.

х₁ х₂ = (3 - і) (3 + і) = 9 - і ² = 9 .

Числа х₁ і х₂ є коренями рівняння х²- 6х + 9 = 0. Отже, шуканим є рівняння 4х² – 24х + 37 = 0.

Означення. Рівняння виду zⁿ - а = 0, де z - невідома величина, а - будь-яке комплексне число, називаються двочленними рівняннями.

Розв’язання рівняння

Zⁿ = a

Z =

В множинні комплексних чисел рівняння має n - коренів.

Приклад. Розв’язати рівняння z³ - 8 = 0.

Розв’язання

z³ = 8.

Число 8 = 8(cos 0 + і sin 0) - тригонометрична форма.

z = k = 0,1,2

z₁ = 2(Cos 0 + і Sin 0) = 2

z₂=

z₃ =

Відповідь. z₁ = 2; z₂= ; z₃ =

Означення. Рівняння виду aZ²ⁿ + bZⁿ + c = 0, де Z- невідома величина, a,b,c - числа називаються тричленними рівняннями.

Розв’язуються рівняння заміною Zⁿ = t, тоді at² + bt + с = 0.

Приклади для самостійного розв’язування

Розв’язати рівняння:

1) х² -12х + 45 = 0; 2) 2x² - х + 3 = 0;
3) x² + 6х+18 = 0; 4) 3х² + 2х + 27 = 0;

5) 3х² + 7х + 5 = 0; 6) z² - 2z - 5 = 0.

7) z⁴ = 16; 8) z⁵ = 32i;

9) z⁴ – 3z² - 4 = 0; 10) z⁶ – 7z³ - 8 = 0.

Поняття про прості і складні відсотки, їх застосування у конкретних задачах

Кошти, які пускають в обіг, сприяють отриманню прибутку.

Означення. В економічній практиці грошова сума, яка сплачується щорічно за користування коштами, називається процентом.

Означення. Відношення процента до суми використовуваних коштів називається процентною ставкою або нормою. Процентна ставка позначається буквою p і виражається у процентах.

Для зручності розрахунків введемо величину i = p / 100, яку називають питомою процентною ставкою.

Якщо проценти від коштів додаються до цих коштів, то відбувається накопичення суми. Припускатимемо, що по закінченні кожного року прибуток за цей рік вилучається. Тоді прибуток за наступний рік знову нараховуватиметься з початкової суми. У такому разі мова йде про прості проценти.

Нехай початкова сума дорівнює К, а питома процентна ставка - i. Тоді, за п років до початкової суми додаються Кпі. Отже, накопичена сума К_n визначатиметься формулою:

К_п=К + Кпі=К∙(1 +пі) (1)

Отже, у випадку простих процентів К_п є лінійною функцією від п.

Приклад. До ощадного банку покладено на збереження гроші в сумі 5 млн. грн. На скільки збільшиться сума через 7 років, якщо норма процента p = 3%?

Розв’язання

За формулою (1) маємо К₇ = 5 (1 + 7∙ 0,03) = 6,05 млн. грн.

Тоді АК = К₇ - К= 6,05 - 5 = 1,05 млн. грн.

Відповідь. Сума збільшиться на 1,05 млн.грн.

Приклад. Визначити, скільки коштів було покладено для користування під прості 2% річних, якщо через чотири роки накопичилось 9 млн. грн.

Розв’язання

Відомо, що р = 2%, n = 4, К_n = 9 ∙ 10⁶ грн. За формулою (1) знаходимо:

К= , тобто К=

Звідси зрозуміло, що коли К = 8 333 333 грн, то К₄ < 9 <10⁶ грн.

Відповідь. Було покладено для користування 8 333 334 грн.

Розрізняють номінальну і реальну процентні ставки.

Означення. Процентна ставка, яка подається у грошових одиницях за поточним курсом (без урахування інфляції), називається номінальною процентною ставкою.

Означення. Процентна ставка, яка дорівнює номінальній процентній ставці, зменшеній на процент інфляції, називається реальною процентною ставкою.

Приклад. Студент має 100 грн. і вирішує: зберегти їх чи втратити? Якщо він покладе гроші до банку, то через рік отримає 112 грн. Інфляція становить 14% за рік.

а) Якою є номінальна процентна ставка?

б) Якою є реальна процентна ставка?

в) Що б ви порадили студенту?

г) Як вплинуло б на вашу пораду зменшення темпу інфляції на 10% за умови, що номінальна процентна ставка залишилась без зміни?

Розв’язання

а) Маємо K₁ = 112, К = 100, п= 1. Тоді за формулою (1) знайдемо:

, р =12%.

б) 12% -14% = -2%.

в) При від’ємній реальній процентній ставці доцільним буде витратити гроші зараз, оскільки сума процентних надходжень не перевищує зростання цін на товари.

г) У такому разі реальна процентна ставка становить 12% - 10% = 2%. При додатній процентній ставці краще зберегти гроші, поклавши їх до банку.

Відповідь. а) р = 12%; б) -2%; в) При від’ємній реальній процентній ставці доцільним буде витратити гроші зараз, оскільки сума процентних надходжень не перевищує зростання цін на товари; г) краще зберегти гроші, поклавши їх до банку

Якщо прибуток по закінченні року додають до початкової суми, то в такому разі мова йде про складні проценти.

Припустимо, що початкова сума дорівнює К і на цю суму протягом п років нараховується процент за питомою нормою і, причому проценти є складними. Тоді через рік дістанемо суму:

К₁=К + К_і = (1+ і),

через два роки —

К₂ = К₁ + К_1і = K₁(1 + і) = К (1+і)².

Методом математичної індукції доведемо, що через п років ця сума становитиме:

К_n = К(1 + i)ⁿ (2)

Справді, при п = 1 формула (2) є правильною. Припустимо, що вона є правильною при п = m, тобто К_т = К (1 + i)^m. Нарешті, покажемо, що вона буде правильною і при п = т + 1:

К_т+1 = К_т (1 + і) =К(1 + і)^т(1 + і) = К(1 + і)^т+1.

Вираз

1 + і = r (3)

називається коефіцієнтом складного процента.

З урахуванням виразу (3) формулу (2) можна записати ще так:

К_п=Кr^п. (4)

З формули (4) випливає, що К_п - це (п + 1) -й член геометричної прогресії з першим членом К і знаменником r. Для данного випадку К_n - показникова функція, аргументом якої є натуральні числа.

Складні проценти застосовують у бухгалтерському обліку багатьох галузей народного господарства, у банках, а також при різноманітних статистичних розрахунках, насамперед при визначенні середньорічних темпів відносного приросту продукції за тривалі періоди часу (за п’ять років, десять тощо).

Приклад. До ощадного банку зроблено внесок терміном на 10 років на суму 1000 грн. Яку суму сплатить ощадний банк по завершені цього терміну, якщо процентна ставка p = 3%?

Розв’язання

Маємо К = 1000, р = 3%, п = 10. Для обчислення К_п скористаємось формулою (4). З цією метою спочатку знайдемо коефіцієнт складного процента:

r =1+ і = 1 + p / 100 = 1 + 0,03=1,03.

Отже, К₁₀ = 1000 ∙ 1,03¹⁰= 1000 ∙1,34392 = 1343,92.

При обчисленні r^п користуються також таблицями.

Відповідь. Ощадний банк сплатить 1343,92 грн.

Приклад. На скільки процентів збільшиться випуск продукції протягом п'яти років, якщо щорічний приріст дорівнює 1,117?

Розв’язання

Нехай и₁ - початковий обсяг продукції, а u_n - обсяг продукції через n років.

Маємо r = 1,117, n = 5. За формулою (4) u₅ = u₁ ∙ 1,117⁵, звідки:

u₅ / u₁ = 1,117⁵ ≈ 1,738.

Відповідь. Обсяг продукції збільшиться на 73,8%.

Приклади для самостійного розв’язування

1. Кучеренко взяв в борг 3200 гривень з умовою повернути 20 гривень у перший місяць і подальшим зростанням цієї суми на 15 гривень кожного місяця. Який термін йому потрібен для повернення боргу?

2. Кожного року чоловік вкладає 1000 гривень для накопичення з фіксованим 8% щорічним зростанням. Знайти:

а) формулу, за якою можна знайти величину його коштів через n років;

б) скільки коштів він буде мати через 10 років?

3. На час навчання студент університету отримав з фонда навчання в борг 8000 доларів. Цей зайом йому надано із 8% щорічного зростання і умовою щорічного повернення боргу в кінці кожного року після закінчення університету на протязі 5 років. Скільки коштів повинен повернути студент кожного року після закінчення університету?

1.2. Комбіноторика. Біном Ньютона

Література

1. Вища математика: Навч.-метод.посібник для самост.вивч.дисц. / К.Г.Валеєв, І.А.Джалладова, О.І.Лютий та ін. – К.: КНЕУ, 1999. – 396 с. (с. 213 - 244).

2. Лейфура В.М. Математика: Підручник. / В.М.Лейфура, Г.І.Голодницький, Й.І.Файст; За ред. Лейфури В.М.- Київ: „Техніка”, 2003.- 640 с. (с. 28 – 35, 52 - 68).

3. Овчинников П.П. та ін. Вища математика: Підручник. – К.: Техніка, 2000. – 592с. (с. 290 - 300).

4. Шкіль М.І.Алгебра і початки аналізу – Зодіак-ЕКО, 2001. – 656 с. (с.455-481).

Питання, що виносяться на самостійну роботу:

· Основні принципи комбінаторики

· Розв’язування комбінаторних задач

Основні принципи комбінаторики

Двома основними правилами комбінаторики є:

Принцип суми. Якщо множина A містить m елементів, а множина B – n елементів, і ці множини не перетинаються, то AÈB містить m+n елементів.

Принцип добутку. Якщо множина A містить m елементів, а множина B – n елементів, то A´B містить m×n елементів, тобто пар.

Кількість елементів множини A будемо далі позначати | A |.

Ці правила мають також вигляд:

Принцип суми. Якщо об'єкт A можна вибрати m способами, а об'єкт B – n іншими способами, то вибір "або A, або B" можна здійснити m+n способами.

Принцип добутку. Якщо об'єкт A можна вибрати m способами і після кожного такого вибору об'єкт B може бути вибраним n способами, то вибір "A і B" в указаному порядку можна здійснити m × n способами.

Наведені правила очевидним чином узагальнюються на випадки довільних скінченних об'єднань множин, що попарно не перетинаються, та на скінченні декартові добутки.

Правило добутку застосовується для підрахунку кількості об'єктів, що розглядаються як елементи декартових добутків відповідних множин. Отже, ці об'єкти являють собою скінченні послідовності – пари, трійки тощо.

Нагадаємо, що з точки зору математики послідовність довжини m елементів множини A – це функція, яка натуральним числам 1, 2, …, m ставить у відповідність елементи з A.

Означення. Розміщення з повтореннями по m елементів n -елементної множини A – це послідовність елементів множини A, що має довжину m.

Приклад. При A ={ a, b, c } розміщення з повтореннями по два елементи – це пари (a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c).

Якщо | A |= n, то за правилом добутку множина всіх розміщень з повтореннями, тобто множина A^m = A ´ A ´…´ A, містить n^m елементів. Зокрема, якщо | A |= 2, то розміщень з повтореннями 2^m. Зауважимо, що ці розміщення можна взаємно однозначно поставити у відповідність послідовностям з 0 і 1 довжини m.

У багатьох комбінаторних задачах об'єкти, кількість яких треба обчислити, являють собою послідовності, у яких перший елемент належить множині A ₁, другий – A ₂, тощо. Але досить часто множина A ₂ визначається лише після того, як зафіксовано перший член послідовності, A ₃ – після того, як зафіксовано перші два і т.д. Обчислимо, наприклад, кількість 7 -цифрових телефонних номерів, у яких немає двох однакових цифр поспіль. Якщо на першому місці в номері є, наприклад, 1, то на другому може бути будь-яка з 9 інших цифр. І так само на подальших сусідніх місцях. Таким чином, тут | A ₁|= 10, | A ₂|=| A ₃|=…=| A ₇|= 9, і загальна кількість номерів є 10×9⁶.

Означення. Розміщення по m елементів n-елементної множини A, де m £ n – це послідовність елементів множини A, що має довжину m і попарно різні члени.