Плоскости и прямые в пространстве

Пример. Даны координаты вершин пирамиды

А ₁(1,-2,-3), А ₂(-3,1,1), А ₃(4,3,-1), А ₄(3,2,2).

Составить: 1. Уравнение плоскости .

2. Уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А ₄ на грань .

Решение. 1. Уравнение плоскости запишем, используя каноническое уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:

.

Подставив координаты точек А ₁, А ₂, А ₃, получим

= .

Разложив последний определитель по элементам первой строки, будем иметь

или

.

2. Уравнение высоты пирамиды представим в виде канонической системы уравнений прямой, проходящей через заданную точку А ₄ с известным направляющим вектором . За направляющий вектор возьмем нормальный вектор плоскости , т.е. .

Уравнение высоты: .

Примечание. Если бы в уравнении прямой один из знаменателей оказался нулевым, например

,

то уравнение прямой следовало бы записать в виде пересекающейся системы плоскостей

Наконец, если бы в уравнении прямой два знаменателя обратились в ноль, например,

,

это означало бы, что прямая является пересечением плоскостей и и ее уравнением будет система