Линии второго порядка

Ниже приведены канонические уравнения кривых второго порядка с центром симметрии (в случае параболы – вершиной) в начале координат (случай А) и в точке С (x ₀, y ₀) (случай В).

А В

Окружность
Эллипс
Гипербола
Парабола

Пример 1. Пусть задано уравнение х² + y² - 4x = 0. Является ли это уравнение уравнением окружности и, если да, то каков ее радиус и координаты центра?

Приведем данное уравнение к виду . Выделим полный квадрат относительно х, прибавляя и вычитая число 4

x² + y² - 4x = (x² - 4x + 4) + y² - 4 = 0 или (x - 2)² + y² = 2². х₀ = 2, у₀ = 0, R = 2.

Пример 2. Дано уравнение кривой второго порядка . Определить тип кривой, найти ее параметры и сделать чертеж.

Решение. Сравнивая с табличными данными находим, что это парабола, вершига которой находится в точке С (x ₀, y ₀). приводим уравнение параболы к виду .

х₀ = 0, у₀ = 2, р = 1. Чертеж

Рис. 2.