![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:
![]() | ![]() |
Вычислим определитель системы
![]() | ![]() |
Как известно, если ¹0, то система (1) имеет решение, и при том единственное. Если
=0, то система (1) либо не имеет решений, либо имеет бесчисленное множество решений.
В дальнейшем мы будем предполагать, что ¹0.
1. Решение с помощью формул Крамера.
Если определитель системы ¹0, то, согласно формулам Крамера, решение системы (1) можно представить в виде
![]() | ![]() |
Здесь
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
Определитель (i =1, 2,…, n) отличается от определителя системы
тем, что
столбец
заменен столбцом из свободных членов, т.е. столбец
заменен на столбец
.
Пример. Дана расширенная матрица системы . Решить систему методом Крамера.
Решение. Запишем систему в стандартной форме
.
Определитель данной системы
Вычислим определители ,
и
:
.
.
.
Решение системы:
Для того чтобы убедиться в правильности решения, подставим эти значения в исходную систему
.
2. Решение методом Гаусса. Пусть есть система (1) с определителем ¹0. Нашей системе можно сопоставить расширенную матрицу, в которой содержится вся информация о системе
![]() | ![]() |
Метод Гаусса состоит в том, что система (1) с помощью ряда элементарных преобразований сводится к новой системе, расширенная матрица которой имеет вид
![]() | ![]() |
Т.е. в результате преобразований все коэффициенты матрицы становятся равными нулю, кроме диагональных элементов, которые становятся равными единице:
при
и
при
. Столбец свободных членов
превращается в новый столбец
.
Если мы привели нашу матрицу к диагональному виду, то решение системы записывается очень просто:
![]() |
Таким образом, решение системы сводится к совершению элементарных преобразований, в результате которых расширенная матрица (5) превращается в расширенную матрицу (6).
К элементарным преобразованиям системы (1) относятся следующие:
1) перемена местами уравнений (т.е. перемена местами строк расширенной матрицы);
2) умножение или деление любого уравнения системы (1) на число, отличное от 0 (т.е. умножение или деление строки расширенной матрицы на число, отличное от 0);
3) изменение любого уравнения системы (1) путем прибавления к нему другого уравнения системы, умноженного на число, отличное от 0 (т.е. изменение строки расширенной матрицы путем прибавления к ней другой строки, умноженной на число, отличное от 0).
Пример. Найти решение системы методом Гаусса.
.
Решение. Определитель системы . Таким образом, система имеет единственное решение. Найдем его методом Гаусса. Начальная расширенная матрица имеет вид
.
Далее мы будем приводить нашу матрицу к диагональному виду и выписывать ее вид после каждого шага преобразований.
1-й шаг. Разделим 1-ю строку матрицы на 2.
.
2-й шаг. 1-ю строку оставляем без изменения. Вместо 2-й строки записываем следующую ее комбинацию с 1-й: 1-ю строку умножаем на (-5), складываем ее со 2-й строкой, тогда новые числа, стоящие во 2-й строке расширенной матрицы, будут следующие:
Вместо 3-й строки записываем следующую ее комбинацию с 1-й: 1-ю строку умножаем на (-3) и складываем ее с 3-й строкой, тогда
Расширенная матрица примет вид
.
В результате первых 2-х шагов 1-й столбец преобразовался в
.
3-й шаг. Делим вторую строку на 11.
.
4-й шаг. 2-ю строку оставляем без изменения. Вместо 1-й строки записываем следующую ее комбинацию со 2-й: 2-ю строку умножаем на 2 и складываем ее с 1-й строкой, тогда
Вместо 3-й строки записываем ее комбинацию со 2-й: 2-ю строку умножаем на (-14) и складываем ее с 3-й строкой, тогда
.
В результате 3-го и 4-го шагов 1-й столбец матрицы не изменился, а 2-й превратился в .
5-й шаг. Делим 3-ю строку на
.
6-й шаг. 3-ю строку оставляем без изменения. Вместо 1-й строки записываем ее комбинацию с 3-й: 3-ю строку умножаем на и складываем ее с 1-й строкой, тогда
Вместо 2-й строки записываем ее комбинацию с 3-й: 3-ю строку умножаем на и складываем ее со 2-й строкой, тогда
.
В результате 5-го и 6-го шагов 3-й столбец принял вид .
Таким образом, решение системы следующее: Проверка
Таким образом, смысл метода Гаусса состоит в том, что сначала 1-й столбец исходной матрицы приводим к виду , затем 2-й - к виду
и, наконец, 3-й – к виду
. При этом происходит преобразование столбца свободных членов.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 283 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!