Функция одной переменной. Основные определения

Определение 1.8.

Пусть Х, У – числовые множества. Правило f, по которому каждому элементу х Х сопоставляется единственный элемент у У, называется функцией, заданной на множестве Х, и обозначается f или f(x).

При этом множество Х называется областью определения функции f и обозначается D(f), а элемент х Х называется независимой переменной или аргументом.

Множество всех значений y = f(x), которые принимает функция, когда аргумент пробегает все множество Х, называется областью значений функции f и обозначается E(f), а элемент y = f(x) Y называется зависимой переменной или значением функции.

Замечание 1.4.

В некоторых случаях правило f может сопоставлять элементам множества Х не один, а несколько элементов множества У. Такая функция называется многозначной в отличие от однозначной функции, определенной выше.

Далее будут рассматриваться только однозначные функции.

Определение 1.9.

Множество точек плоскости {(x, y): x D(f), y=f(x) } называется графиком функции f(x).

Обозначение: Г(f).

Пример 1.7.

Рассмотрим функцию f(x) = / x / =

Такая функция называется модулем или абсолютной величиной числа.

D(f) = / R, E(f) = [0, + ).

у

График такой функции имеет вид:

Пример 1.8.

Функция f(x)=sn(x)=

называется знаком числа.

D(f) = / R {0}, E(f) = {-1; 1}.

у

График этой функции представлен на рисунке 1.6.

Определение 1.10.

Рассмотрим функцию f: X Y. Пусть для любого элемента у У существует элемент х Х такой, что y=f(x), тогда правило, по которому элементу у У сопоставляется тот самый элемент х Х, называется обратной функцией для функции f(x) и обозначается или (у).

Замечание 1.5.

Рассмотрим функцию f(х) и обратную функцию (у), тогда имеем y=f(x), х= (у). Если во втором равенстве поменять местами х и у, то получим пару функций y = f(x), y = f^-1(x). Такие функции называются взаимообратными. Графики этих функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.