Множества. Основные определения

Определение 1.1.

Множеством называется совокупность объектов, наделенных одним или несколькими общими свойствами.

Объекты, из которых состоит множество, называется его элементами.

Обозначения:

А, B, C,... – множества,

a, b, c,... – объекты множества.

Запись a A означает, что элемент a принадлежит множеству А.

Пример 1.1.

A = {a: P(a)} - множество, состоящее из элементов a, обладающих свойством P(a).

Пример 1.2.

A = { a } – множество, состоящее из одного элемента а,

B = { a; b } – множество, состоящее из двух элементов а, b и т.д.

Пример 1.3. (Числовые множества).

/ N = {1, 2,..., n,...} – множество натуральных чисел,

Z = {..., -n,..., -1, 0, 1,..., n,...} – множество целых чисел,

Q = { a: a = , p, q Z, q 0} – множество рациональных чисел,

/ R – множество вещественных чисел (оно состоит из рациональных и иррациональных чисел).

Пример 1.4. (Числовые промежутки).

(a, b) = { x / R: a< x < b },

[ a, b) = { x / R: a x< b },

(a, b ] = { x / R: a < x b },

[ a, b ] = { x / R: a x b },

(- , a) = { x / R: x < a },

(- , a ] = { x / R: x a },

(b, + ) = { x / R: x > b },

[ b, + ) = { x / R: x b }.

Промежуток (a, b) называется открытым промежутком или интервалом, промежутки [ a, b),(a, b ] – полуоткрытыми, [ a, b ] – замкнутым промежутком или отрезком.

Промежутки (- , а), (- , а ], (b, + ), [ b, + ) называются бесконечными промежутками.

Замечание 1.1.

В математике часто используется понятие пустого множества, то есть множества, не содержащего ни одного элемента. Пустое множество обозначается символом .

Определение 1.2.

Пусть X – непустое числовое множество. Верхней границей множества Х называется число М такое, что х М для любого х Х.

Наименьшая из всех верхних границ называется точной верхней границей множества Х.

Обозначение: supX (supremum X).

Определение 1.3.

Пусть Х – непустое числовое множество. Нижней границей множества Х называется число m такое, что x m для любого х Х.

Наибольшая из всех нижних границ называется точной нижней границей множества Х.

Обозначение: inf X (infimum X).

Замечание 1.2.

Точные границы могут также не принадлежать множеству или быть бесконечными.

Пример 1.5.

Рассмотрим множества

А = (2, 3), В = [2, 3), C = [2, 3].

Для всех множеств имеем inf A = inf B = inf C = 2, sup A = supB = sup C = 3.

Пример 1.6.

Для множества натуральных чисел inf / N = 1, sup / N = +