Алгоритм приведения квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием

1. Выписываем матрицу А квадратичной формы.

2. Находим собственные числа матрицы А: .

3. Составляем ортонормированный базис из собственных векторов симметричной матрицы А.

4. Составляем ортогональную матрицу перехода G, столбцами которого служат собственные векторы .

5. Замена позволяет записать квадратичную форму в новых координатах в виде суммы квадратов, т.е. в каноническом виде .

6. Обратное преобразование , и так как G – ортогональная матрица и ,
то .

Примеры смотри в тренинге умений.

Замечание. Мы рассмотрели здесь лишь один способ приведения квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования. Существуют и другие способы приведения квадратичной формы к сумме квадратов. В зависимости от этих способов квадратичная форма может иметь различные канонические виды. Но несмотря на многообразие канонических видов для данной квадратичной формы неизменными остаются важные характеристики их коэффициентов.

К ним относится, во-первых, ранг квадратичной формы, который равен числу отличных от нуля коэффициентов в любом ее каноническом виде. Ранг равен числу ненулевых собственных значений матрицы квадратичной формы (с учетом их кратности).

Выполняется также закон инерции: сохраняется число положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы, не зависимо от способа приведения ее к сумме квадратов.