![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
В курсе аналитической геометрии мы изучали эллипс, гиперболу и параболу, которые являются кривыми второго порядка. Напомним их уравнения:
– эллипс,
– гипербола,
, или
,
– парабола.
При выводе уравнений этих кривых была так подобрана система координат, что уравнения получились “простого”, канонического вида.
Если система координат выбрана произвольно, то уравнение кривой второго порядка имеет общий вид:
, (*)
где . Левая часть этого уравнения состоит из двух частей. Первая часть
– квадратичная форма от переменных х, у, с симметричной матрицей
.
Определитель этой матрицы равен .
Оказывается, знак этого определителя, а так же знаки коэффициентов при квадратах А и С играют решающую роль при выяснении вопроса о типе кривой, заданной общим уравнением.
Вторая часть имеет вид
и представляет собой линейную функцию.
Часть линейной функции, не содержащая константу, – линейная форма.
Таким образом, левая часть уравнения (*) есть сумма:
квадратичная форма + линейная форма + константа.
Левая часть уравнения (*) есть многочлен второй степени от х и у. Какие же кривые на плоскости может определить алгебраическое уравнение (*) с условием, что хотя бы один из коэффициентов А, В или С отличны от нуля?
Оказывается, что уравнение определяет уже известные нам эллипс, гиперболу или параболу; кроме того возможны случаи (вырожденные):
1. пара пересекающихся прямых ,
2. пара параллельных прямых ,
3. пара совпадающих прямых ,
4. точка или пустое множество .
В аналитической геометрии доказывается теорема, что других возможностей, кроме перечисленных, быть не может.
Среди невырожденных кривых эллипс и гипербола называются центральными, они имеют единственный центр симметрии, парабола центра не имеет. Канонический вид кривой не содержит произведения координат, а для центральных кривых не содержит и линейной формы.
Важной задачей является задача приведения кривой второго порядка к каноническому виду. Изменением системы координат, а именно поворотом координатных осей и параллельным сдвигом, общее уравнение кривой второго порядка (*) можно привести к каноническому виду.
Только после этого можно говорить о типе кривой.
Определитель матрицы квадратичной формы
не меняется при сдвиге и повороте координатной системы, говорят, что он является инвариантом этих преобразований. В связи с этим линии второго порядка классифицируют по следующим типам:
1) эллиптический, при ;
2) гиперболический, при ;
3) параболический, при .
Такую же классификацию применяют к уравнению (*). Доказывается, что эллипс имеет уравнение эллиптического типа, гипербола – гиперболического, парабола – параболического. Условия эти лишь необходимые, но не достаточные (уравнения эллиптического типа может определить, например, вырожденный в точку эллипс , или пустое множество
).
Не вдаваясь в дальнейшие подробности, опишем алгоритм приведения общего уравнения кривой 2-го порядка к каноническому виду. Используем при этом наше умение привести к каноническому виду квадратичную форму. Итак, имеем уравнение
. (*)
Найдем сначала определитель и определим тип кривой. Пусть оказалось,
что имеем центральную кривую эллиптического или гиперболического типа. Тогда:
1. Находим центр кривой из системы уравнений
.
2. Переносим начало координат параллельным сдвигом осей в точку , обозначим новые координаты точек
.
Рисунок 8
Очевидно, ,
откуда
,
. После подстановки в уравнение (*) вместо х, у их выражений через
,
получим уравнение
,
где . В результате квадратичная форма не изменится, а члены, содержащие первые степени переменных
и
, пропадут!
3. Далее следует произвести поворот координатных осей ,
вокруг начала
на угол a (a>0 – против часовой стрелки) так, чтобы в уравнении исчез смешанный член
. Как найти угол a, т.е. как направить новые координатные оси? Новые оси направим вдоль собственных векторов
,
квадратичной формы, найдем матрицу перехода С к новому базису, и преобразуя координаты
в
с помощью матрицы С, получим в новых координатах уравнение в каноническом виде:
,
где l 1, l 2 – собственные числа матрицы (см. умение 5 и соответствующий пример тренинга и рисунок 8).
Рассмотрим теперь случай, когда определитель , и мы имеем случай параболический, центра нет. Тогда следует действовать по плану:
1. Находим собственные числа l 1, l 2 (при этом одно из них равно нулю) и собственные векторы ,
квадратичной формы. Поворачиваем исходную координатную систему ХОУ вокруг начала (0,0), направляя новые координатные оси
и
по собственным векторам
,
. Новые координаты точек
и старые (х,у) связаны формулами
,
где С – матрица перехода от исходного стандартного базиса к базису
,
.
2. После подстановки в уравнение (*) вместо х, у их выражений через получим
или
, где
придется честно пересчитать.
3. Выделяя в полученном уравнении “полный квадрат” (см. юниту по аналитической геометрии), найдем вершину параболы . Перенесем начало координат в вершину параболы
с помощью параллельного сдвига осей
и
. В новых координатах
, где
получим каноническое уравнение параболы или
.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 1298 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!