Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием

Наиболее простым является такой вид квадратичной формы, который не содержит произведения координат , т.е. представляет собой сумму квадратов.

Вид квадратичной формы

называется каноническим видом квадратичной формы.

Матрица В в этом случае является диагональной матрицей:

.

Возникает вопрос, какое преобразование приводит квадратичную форму к каноническому виду?

Пусть , где А – симметричная матрица. Известно, что А имеет собственный ортонормированный базис. Обозначим его . Тогда

1. , .

2. , если .

3. , .

Пусть теперь G – матрица перехода от стандартного ортонормированного базиса к базису , т.е. G – ортогональная матрица.

Теорема. При линейной замене переменных квадратичная форма принимает вид

,

где – собственные числа матрицы А.

Действительно. Преобразование запишем в векторной форме

.

Тогда

Мы воспользовались тем, что скалярное произведение

.

Подведем итог сказанному.