Смешанное произведение векторов

Определение. Смешанным произведением трех векторов , , называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и , т.е. .

Геометрический смысл смешанного произведения выражает следующая теорема.

Теорема. Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах , , , взятому со знаком «плюс», если тройка векторов , , правая, и со знаком «минус», если тройка векторов , , левая. Если же векторы , , компланарны, то .

В краткой записи:

Рис. 2

Доказательство видно из рисунка 2.

Свойства смешанного произведения:

1. .

2. Величина векторного произведения не изменяется при циклической перестановке сомножителей:

3. векторы компланарны.

4. Смешанное произведение линейно по каждому из сомножителей. В частности,

.

Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей

Теорема. Если векторы заданы своими координатами: , , , то смешанное произведение равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов, т.е.

. (1.6)

Пример 12. Компланарны ли векторы

Решение. Вычислим смешанное произведение векторов по формуле (1.6):

.

Следовательно, векторы - компланарны.

Пример 13. Образуют ли векторы базис в пространстве

Решение. Проверим, компланарны ли векторы . Для этого вычислим их смешанное произведение:

.

Следовательно, векторы некомпланарны, а значит, образуют базис в пространстве

Пример 14. Векторы образуют правую тройку, взаимно перпендикулярны и . Вычислить

Решение.

Пример 15. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах

Решение.

(Здесь запись обозначает модуль числа .)

Пример 16. Найти объем тетраэдра с вершинами в точках , , ,

Решение. Найдем координаты векторов

Вычислим объем параллелепипеда, построенного на векторах

Тогда

Пример 17. Лежат ли точки в одной плоскости?

Решение. Найдем координаты векторов

Проверим, компланарны ли векторы ; для этого вычислим их смешанное произведение:

следовательно, векторы некомпланарны, а, значит, точки не лежат в одной плоскости.