Скалярное произведение и его свойства

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается одним из следующих символов: Итак, по определению

где (1.2)

Если хотя бы один из векторов или равен , то скалярное произведение полагается равным 0.

Свойства скалярного произведения:

1) переместительный закон;

2) сочетательное свойство относительно скалярного множителя ;

3) распределительный закон;

4) ;

5) Для того чтобы ненулевые векторы и были взаимно перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю;

6) Если векторы и заданы координатами: то

(1.3)

Замечание. В высшей математике переместительный, сочетательный и распределительный законы называют соответственно законами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности.

Из формулы (1.2) найдем , где – угол между векторами:

(1.4)

Пример 2. Найти скалярное произведение векторов если

Решение. Воспользовавшись свойствами скалярного произведения 1)–4) и формулой (1.2), получим

Пример 3. Найти скалярное произведение векторов если , .

Решение. Найдем координаты векторов и . Вычислим: тогда

;

тогда

Воспользовавшись формулой (1.3), получим

Пример 4. Найти косинус угла между векторами и если

Решение. Найдем координаты векторов и :

Применяя формулу (1.4), получим

=

Пример 5. Перпендикулярны ли векторы и

Решение. Вычислим скалярное произведение ненулевых векторов :

следовательно, векторы и перпендикулярны (в силу свойства 5).