Обобщенная теорема Чебышева

Пусть X₁, X_n – независимые случайные величины с математическими ожиданиями m₁,…m_n и дисперсиями D₁…, D_n. Пусть дисперсии ограничены в совокупности (D_k < L, k-1,2…n). Тогда среднее арифметическое наблюденных значений случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий.

Доказательство. Рассмотрим, как в предыдущей теореме . ,

(случайные величины независимы, следовательно, и не коррелированны)

= . Отсюда по второму неравенству Чебышева следует утверждение теоремы (доказательство сходимости по вероятности проводится как в предыдущей теореме).