Интегральная теорема Муавра – Лапласа

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых с вероятностью p может появиться событие А. Обозначим - число появлений события в k –ом испытании (). Обозначим - общее число появлений события в n испытаниях (). Обозначим . Тогда при равномерно по x.

Отсюда следует практическое правило вычисления

, где

. Так как то заменим на , на , Получим формулу для вероятности нахождения числа успехов в заданном интервале:

= - .

Заменим на , на .

Тогда .

Но .

Поэтому справедлива формула для вычисления отклонения частоты от вероятности

,

Если интервал симметричный, т.е. , то по нечетности функции Лапласа получим

.

Пример. Вероятность появления события p = 0,8. Сделано n = 100 независимых испытаний. Найти вероятность того, что событие произойдет не менее 75 и не более 90 раз.

Пример. Бюффон бросил монету 4040 раз и получил герб 2048 раз. Найти вероятность отклонения частоты появления герба от вероятности.