Двумерное нормальное распределение. Двумерная случайная величина (X,Y) распределена нормально со средними значениями m, m2, дисперсиями и коэффициентом корреляции

Двумерная случайная величина (X,Y) распределена нормально со средними значениями m_, m₂, дисперсиями и коэффициентом корреляции , если ее плотность задана:

Задача линейного прогноза.

Заданы характеристики случайного вектора . Вводится случайная величина – оценка - линейный прогноз. Вычислить , чтобы линейный прогноз был наилучшим среднеквадратическим (в смысле минимума погрешности оценки: ).

.

За счет выбора можно лишь минимизировать последнее слагаемое, сделав его нулем: . Теперь остается обеспечить минимум квадратного трехчлена от (найти вершину параболы): . Подставляя это значение, найдем

. Вычислим погрешность оценки при этих значениях параметров

.

При линейной зависимости оценка точна, погрешность равна нулю.

Чем меньше коэффициент корреляции, тем грубее оценка. В крайнем случае, при отсутствии корреляции () .