Друга теорема Больцано-Коші)

Якщо функція неперервна на та і -відповідно її найбільше та найменьше значення, а -деяке число, що задовольняє умові:

,

то на сегменті існує хоч би одна така точка , значення функції у якій дорівнює .

Приклад.

Дослідити на неперервність функцію

.

Розв’язання.

Функція визначена на проміжках .

Надамо змінній приріст , тоді

.

Припустимо, що .

, якщо , . Значить функція неперервна, коли .

Приклад.

Дослідити на неперервність функцію

у точці .

Розв’язання.

Спочатку розглянемо функцію

.

Ця функція неперервна, коли .

Значить функція також неперервна, коли . Тепер слід з’ясувати поведінку функції у околі точки .

Нехай . Тоді

,

відповідно

.