Поняття послідовності. Види послідовності

Числові послідовності.

Означення.

Якщо є закон, за яким кожному натуральному числу відповідає певне дійсне число , то множина дійсних чисел називається числовою послідовністю.

Числа називаються елементами або членами послідовності. Символічно послідовності позначають так:

.

Приклад 1.

Послідовність визначає множину чисел:

; ; ; ; ; ;...; ;...

Приклад 2.

Послідовність визначає множину чисел:

; ; ; ; ;...; ;...

Означення.

Послідовність називається зростаючою, якщо кожний член послідовності, починаючи з другого, більше, ніж попередній, тобто:

, .

Означення.

Послідовність називається спадаючою, якщо кожний член послідовності, починаючи з другого, меньше, ніж попередній, тобто:

, .

Зростаючі та спадаючі послідовності називаються монотонними послідовностями.

Приклад 3.

Послідовність = ; ; ; ;...; ;... є спадаючою послідовністю. Доведемо це.

; ;

тоді: = = = .

Якщо 0, то . Це говорить про те, що послідовність спадаюча.

Означення.

Послідовність називається обмеженою зверху, якщо існує таке дійсне число , що усі елементи послідовності задовольняють нерівності:

.

Означення.

Послідовність називається обмеженою знизу, якщо існує таке дійсне число , що усі елементи послідовності задовольняють нерівності:

.

Означення.

Послідовність називається обмеженою з обох сторін або просто обмеженою, якщо вона обмежена і зверху і знизу, тобто, якщо існують такі дійсні числа та , що для всіх елементів послідовності слушна нерівність:

. (1).

Позначимо, . Тоді для обмеженої послідовності слушна нерівність:

або

(2).

Означення.

Послідовність називається необмеженою, якщо для будь-якого додатнього числа існує хоча б один такий елемент послідовності, який задовольняє умові:

.

Приклад 4.

а) послідовність ... є обмежена послідовність тому, що ,

б) послідовність ... необмежена.

в) послідовність обмежена з низу, бо , .