Задачи контрольных работ

Задачи № 1-10. Даны множества на числовой прямой А,В и С Найти множества А и изобразить их на числовой оси.

1. А= , В= , С=

2. А= , В= , С=

3. А= , В= , С=

4. А= , В= , С=

5. А= , В= , С=

6. А= , В= , С=

7. А= , В= , С=

8. А= , В= , С=

9. А= , В= , С=

10.А= , В= , С=

Задачи № 11-20. Для исходной теоремы сформулировать обратную, противоположную и противоположную обратной теоремы. Указать, какие из этих теорем истинны. Если теорема не является истинной, то приведите подтверждение ее ложности.

11. Если четырехугольник – ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны.

12. Если четырехугольник – ромб, то его диагонали делятся пополам.

13. Если четырехугольник – квадрат, то в него можно вписать окружность.

14. Если у четырехугольника основания параллельны, то он – параллелограмм.

15. Если четырехугольник – квадрат, то все его стороны равны.

16. Если в треугольнике один угол тупой, то два других – острые.

17. Если многоугольник правильный, то вокруг него можно описать окружность.

18. Если в треугольнике провести отрезок, соединяющий середины сторон, то он равен половине основания.

19. Если в треугольнике провести отрезок, соединяющий середины сторон, то он параллелен основанию.

20. Если в четырехугольник можно вписать окружность, то он - ромб.

Примечание: Если исходная теорема не записана явно в виде:

p (x) q (x), то ее нужно переформулировать так, чтобы она была записана в таком виде (т.е. выделить условия p (x) и заключение теоремы q (x)), а потом строить обратную, противоположную и противоположную обратной теоремы на основе предложенных схем.

Например, исходную теорему «Равные вектора имеют равные соответствующие координаты» нужно переформулировать так: «Если вектора равны (p (x)), то их соответствующие координаты равны (q (x))»

Задачи № 21-30. Доказать методом математической индукции справедливость следующих равенств:

21. 3+7+…+(4n-1)=(2n+1)n

22. 1²-2²+3²-4²+…+(-1)^n-1n²= (-1)^{n- 1}

23. 1³+2³+3³+…+n³=n²(n+1)²/4

24. 1+2+4+8+…+2^n-1=2ⁿ-1

25. 1²+2²+3²+…+n²=n(2n²+3n+1)/6

26. 1+8+16+24+…+8(n-1)=(2n-1)²

27. 3+6+12+24+…+3 ^n-1=3 (2ⁿ-1)

28. =

29.

30.

Задачи № 31-40. Найти производные функций:

31) а) ; б) .

32) а) ; б) .

33) а) ; б) .

34) а) ; б) .

35) а) ; б) .

36) а) ; б) .

37) а) ; б) .

38) а) ; б) .

39) а) ; б) .

40) а) ; б) .

Задачи № 41-50. Выполнить исследование функции по следующей схеме:

1) найти область определения;

2) проверить четность, нечетность функции;

3) найти точки пересечения с осями координат;

4) найти экстремумы функции и интервалы монотонности;

5) найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости;

6) найти пределы функции при ;

7) построить график функции.

41) , 42) ,

43) , 44) ,

45) , 46) ,

47) , 48) ,

49) , 50) .

Задачи № 51-60. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

51) а) ; б) .

52) а) ; б) .

53) а) ; б) .

54) а) ; б) .

55) а) ; б) .

56) а) ; б) .

57) а) ; б) .

58) а) ; б) .

59) а) ; б) .

60) а) ; б)