Решение. Формулировка любой теоремы может быть представлена в виде: «Для каждого элемента x множества M из предположения p(x) следует предложение q(x)».В нашем случае

Формулировка любой теоремы может быть представлена в виде: «Для каждого элемента x множества M из предположения p(x) следует предложение q(x)». В нашем случае условием теоремы p(x) является утверждение: «Четырёхугольник x прямоугольный»,заключением теоремы – предложение q(x): «В четырёхугольнике диагонали равны». Оба предложения p(x) и q(x) заданы на множестве М всех четырёхугольников.

Общий вид теоремы: p(x) q(x). Обратная теорема строится по схеме: q(x) p(x). Она формулируется так: «Если в четырёхугольнике диагонали равны, то этот четырёхугольник –прямоугольник».

Противоположная теорема строится по схеме: , где

-отрицание p(x); -отрицание q(x).

Она формулируется так: «Если четырёхугольник не является прямоугольником, то его диагонали не равны».

Теорема, противоположная обратной, строится по схеме:

. Её формулировка: «Если диагонали не равны, то такой четырёхугольник не является прямоугольником».

Истинные теоремы: прямая и противоположная обратной.

Ложные теоремы: обратная и противоположная.

В качестве примера, доказывающего ложность обратной теоремы достаточно взять равнобедренную трапецию с разными основаниями. У неё диагонали равны, но углы не прямые.

Ложность противоположной теоремы следует из того же примера: равнобедренная трапеция с разными основаниями не является прямоугольником, но её диагонали равны.