 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Пример решения типовой задачи
|
|
№ 1. Найти частные производные и полный дифференциал функции 
Решение:
Считая y постоянной и дифференцируя z как функцию x, получаем частную производную по x:
Аналогично, считая x постоянной и дифференцируя z как функцию y, получаем частную производную по y:
Найдем полный дифференциал исходной функции:
Контрольный тест после изучения главы 9 «Функция двух переменных»
1. Частным приращением функции 
по переменной 
называется …………… между новым значением функции 
и старым значением .
1. Разность; 2. Сумма; 3. Произведение; 4. Частное.
2. Вставить пропущенное словосочетание: частной производной функции двух переменных и 
по одной из этих переменных называется …………………. соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении 
(
) к 0 (если этот предел существует и конечен).
3. Найти сумму частных производных функции z = х2у в точке (1; 1).
1) 0; 2) 2; 3) 1; 4) 4
4. Выберете правильный ответ: Полный дифференциал функции двух переменных равен:
1). 
; 2). 
;
3) 
; 4). 
.
5. Среди приведенных ниже высказываний найдите истинные
1. Количество частных производных функции нескольких переменных зависит от количества ее независимых переменных
2. Производная произведения равна произведению производных
3. Задача о вычислении периметра криволинейной трапеции не приводит к понятию производной
4. Производная постоянной величины равна единице
6. Частная производная 
в точке 
функции 
имеет вид:
1) 4l n 2; 2) –16l n 2; 3) –4l n 2.
7. Дифференциал функции 
в точке 
равен:
1) dx – 2 dz; 2) 2 dx – dz; 3) dx + 2 dz.
8. Частная производная 
функции 
равна:
1) 2; 2) 
; 3) 
; 4) 
.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2
Задания № 1-20. Найти указанные пределы.
1. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
2. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
3. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
4. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
5. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
6. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
7. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
8. а) 
б) 
в) 
г) д)
9. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
10. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
11. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
12. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
13. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
14. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
15. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
16. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
17. а) 
б) 
в) 
г) 
д)
18. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
19. а) 
б) 
в) 
г) д) 
20. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
Задания №21-40. Задана функция у = f (x).1) Исследовать функцию на непрерывность на всей числовой оси. 2) Найти и классифицировать точки разрыва, если они существуют. 3) Построить график функции.
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27 
28. 
29. 
30. 
31. 
32. 
33. 
34. 
35. 
36. 
37. 
38. 
39. 
40. 
Задания № 41-60. Найти производные первого порядка, пользуясь формулами дифференцирования.
41. а) 
; б) 
; в) 
; г) у= arctg(е 2 x + 3); д) у= 
; е) у= lntg(2 x+ 1); ж) у=х arcsin x.
42. а) у = 
; б) у=x 2×cos7 x; в) 
; г) 
; д) у=(х+2)× 
; е) у=ln5sinx; ж) у= 
.
43. а) у= 
; б) у=sin4х + cos4x; в) у= 
; г) у= 3 х×arcsin(2x); д) у= ln 
; е) у= (х 2 + 2 х+ 2)× е - х ; ж) у= 
.
44. а) у= 
; б) у = 
; в) у= 
; г) у= lnsin(2 x +5); д) у=х ×arctg3 x; е) у= 3sin2 x× cos2 x; ж) у= 
.
45. а) у= 
; б) у= 
– 
; в) у= (ln x +1)2×cos2 x г) у= arcsin 
; д) у= 5tg x +3 
; е) у= 
; ж) у= 
46. а) у= 
; б) у = 
; в) у= (3–sin2 x)3 г) у= 
; д). у= 
+sin(3 x+ 9); е) у= arctg x 2+7 x 6+2 ; ж) у= (sin x)tg x.
47а) у= 
; б) у= 
+4 x ×ln x; в) у= arcsin(3 x 2+2); г) у= 
; д) у= 
; е) у= 
; ж) у= 
.
48. а) у= 
; б) у= 
; в) у= arctg 
; г) у= 
; д) у=х× arccos 
; е) у=ех× cos x; ж) у= (sin2 x)cos x .
49. а) у= 
; б) у= 
;в) 
; г) у=е 
;
д). у= 
+8 x+ 7 е) у= (х+х 2) х; ж) у= 
.
50. а) у= 
; б) у = 
; в) у=х 2 × 
; г) у= 
;
д) у= arctg 
; е) у= sin x× cos(7 x+ 5); ж) у= (х 3) ln х .
51.а) у= 
; б) у= 
; в) 
;
г) у=arctg(lnx)+ln(sinx); д) у=2×cos(4x+x2); е) у=(1–х2)×cos2x ж) у= 
.
52. а) у= 
; б) у= 
× arccos 
; в) у= 
; г) у=е ctg3 x
д) у= arctg2 x+ 6 x 2; е) у= 
+ 7 
;; ж) у= 
.
53.a) у= 
; б) у = 
; в) у= 
г) у= 
; д). у= ln3sin(3 x+ 3); е) у= ln(x 2+5); ж) у= 
.
54.) у= 
; б) у = 
; в) у = 
; г) у= ln(2 x 3+3 x 2); д) у= 
; е) у= 8 х× 
; ж) у= 
.
55. a) 
; б) у= (5 х+ х 3)×ln x 2; в) у= 
+2sin4 x +4;
г). у= 0,7arctg х ; д) у= arccos 
; е) у= cos (10 x+x 3); ж) у= 
.
56. a) 
; б) 
; в) у= 
; г) у= 
; д) у=х ×arccos x – 
; е) у=(3х+2)×sin 3x; ж) у= (sin2 x) x.
57. a) у = 
; б) 
; в) у= (5+ х 3)2× е –х; г) у= 
;
д) у= 
; е) у = ех× sin 2 x; ж) у= 
.
58. a) у= 
; б) у= 
; в) у= 
; г) у= 2sin3 x д) у=2tg3(x3+2) е) у= (х 2+6)×ln3 x; ж) у= 
.
59. a) у= 
; б) у=lnctg3x; в) у = 
;г) у = arctg(tg2 x +2); д) у= 
+7 
; е) у= sin26 x+ 3 x 2; ж) у= 
.
60.a) у=x7– 
; б) у= 
arctg 
; в) 
; д) у=ln2sin3x; г) у= 
;;е) у= 
ctg 
; ж) у= 
.
Задания № 61-80. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у= f(x) и, используя результаты исследования, построить ее график.
61. 
62. 
63. 
64. 
65. 
66. 
67. 
68. 
69. 
70. 
71. 
72. 
73. 
74. 
75. 
76. 
77. 
78. 
79. 
80. 
Задания № 81-100. Вычислить частные производные первого порядка, полный дифференциал.
81. 
82. 
83. 
84. 
85. 
86. 
87. 
88. 
89. 
90. 
91. 
92. 
93. 
94. 
95. 
96. 
97.
98. 
99. 
100. 
Контрольные вопросы к аттестации по предмету
1. Понятие постоянной и переменной величин, примеры. Понятие множества.
2. Функция с одной и двумя переменными. Область определения функции и область значения функции.
3. Способы задания функции. Основные свойства функции. Понятие сложной функции.
4. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности.
5. Предел функции. Бесконечно малые величины и их свойства.
6. Теоремы о пределах.
7. Раскрытие неопределенностей вида 
и 
в алгебраических выражениях.
8. Первый и второй замечательный пределы.
9. Непрерывность функции в точке, на интервале.
10. Приращение функции и приращение аргумента.Задачи, приводящие к понятию производной.
11. Определение производной. Ее геометрический и физический смысл.
12. Общее правило вычисления производной по определению.
13. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций.
14. Дифференцирование сложной функции, неявных функций.
15. Производные высших порядков.
16. Дифференциал функции. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
17. Признаки постоянства и признаки монотонности функции.
18. Точки экстремума функции. Условия существования экстремума функции.
19. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба функции.
20. Асимптоты функции
21. Понятие функции с двумя переменными. Область определения, область значения функции, график функции с двумя переменными.
22. Полное приращение функции двух переменных. Предел и непрерывность функции с двумя переменными. Частные производные.
23. Частные производные высших порядков.
24. Дифференциал функции с двумя переменными.
25. Экстремум функции с двумя переменными.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 895 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
