Выпуклость функции. Точки перегиба

Определение. График дифференцируемой функции называется выпуклым (выпуклым вверх) на интервале , если график на этом промежутке расположен ниже касательной, проведённой к графику этой функции в любой точке . Если же на интервале график функции располагается выше любой касательной, проведённой к графику этой функции, то его называют вогнутым (выпуклым вниз).

Определение. Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция вогнута (выпукла).

Теорема (необходимый и достаточный признак выпуклости и вогнутости). Есливторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка Х, то график функции выпуклый (вогнутый) на этом промежутке.

Теорема (необходимый признак существования точки перегиба). Пусть точка – точка перегиба графика дважды непрерывно дифференцируемой функции , тогда производная дважды дифференцируемой функции равна 0.

Замечание. График функции может иметь точку перегиба и при таком, что вторая производная не существует. Поэтому возможными точками перегиба («подозрительными на перегиб») являются точки, где вторая производная или равна нулю, или не существует. Такие точки называют критическими точками 2-го рода. Заметим, что не всякая такая точка является точкой перегиба.

Например, для функций и вторые производные и при обращаются в нуль. При этом точка О (0;0) для графика функции является точкой перегиба, а для графика функции не является. Выясним, в каком случае критическая точка 2-го рода будет точкой перегиба.

Теорема (достаточный признак существования точки перегиба). Пусть функция определена в окрестности критической точки 2-го рода и дважды непрерывно дифференцируема (хотя бы в проколотой окрестности точки ). Если вторая производная меняет знак при переходе через , то – точка перегиба.

График функции является вогнутым на интервале и выпуклым на интервале . Точка является точкой перегиба.