![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение. График дифференцируемой функции называется выпуклым (выпуклым вверх) на интервале
, если график на этом промежутке расположен ниже касательной, проведённой к графику этой функции в любой точке
. Если же на интервале
график функции
располагается выше любой касательной, проведённой к графику этой функции, то его называют вогнутым (выпуклым вниз).
Определение. Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция вогнута (выпукла).
Теорема (необходимый и достаточный признак выпуклости и вогнутости). Есливторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка Х, то график функции выпуклый (вогнутый) на этом промежутке.
Теорема (необходимый признак существования точки перегиба). Пусть точка
– точка перегиба графика дважды непрерывно дифференцируемой функции
, тогда производная дважды дифференцируемой функции равна 0.
Замечание. График функции может иметь точку перегиба и при таком, что вторая производная не существует. Поэтому возможными точками перегиба («подозрительными на перегиб») являются точки, где вторая производная или равна нулю, или не существует. Такие точки называют критическими точками 2-го рода. Заметим, что не всякая такая точка является точкой перегиба.
Например, для функций и
вторые производные
и
при
обращаются в нуль. При этом точка О (0;0) для графика функции
является точкой перегиба, а для графика функции
не является. Выясним, в каком случае критическая точка 2-го рода будет точкой перегиба.
Теорема (достаточный признак существования точки перегиба). Пусть функция определена в окрестности критической точки 2-го рода
и дважды непрерывно дифференцируема (хотя бы в проколотой окрестности точки
). Если вторая производная меняет знак при переходе через
, то
– точка перегиба.
График функции
является вогнутым на интервале
и выпуклым на интервале
. Точка
является точкой перегиба.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 362 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!