Признаки возрастания и убывания функции

Определение. Пусть функция f(x) определена на отрезке [ a,b ]и x₁, x₂ – любыедве точкиэтого отрезка, для которых выполнено условие x₁<x₂. Функцию f(x) называют на [ a,b ]:

1) возрастающей, если f(x₁) < f(x₂); 2) неубывающей, если f(x₁) £ f(x₂);

3) убывающей, если f(x₁) > f(x₂); 4) невозрастающей, если f(x₁) ³ f(x₂).

Во всех четырех случаях функцию называют монотонной на [ a,b ], причем в случаях 1) и 3) говорят, что функция строго монотонна, а в случаях 2) и 4) – простомонотонна.

Замечание. Для возрастающей функции приращение аргумента и соответствующее приращение функции имеют одинаковый знак, поэтому . Для убывающей функции и имеют разные знаки, поэтому .

Теорема (признак монотонности функции).Пусть функция f(x) дифференцируема на [ a,b ]и . Тогда функция f(x) -неубывающая (невозрастающая) на отрезке [ a,b ].

Теорема (необходимый и достаточный признак возрастания (убывания) функции). Для того чтобы функция возрастала (убывала) в точке и на интервале , необходимо и достаточно, чтобы производная первого порядка функции была положительной (отрицательной), т.е. или ,( или ).