Схема исследования функции на выпуклость (вогнутость) и точки перегиба

1. Найти вторую производную функции.

2. Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.

3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах вогнутости (выпуклости) и точек перегиба.

4. Найти значение функции в точках перегиба.

Пример. Исследовать на выпуклость и вогнутость, найти точки перегиба графика функции .

Используя определение модуля, данную функцию можно записать в виде:

.

Заметим, что функция непрерывна . Вычислим:

.

При производная не существует , поэтому также не существует. При имеем:

.

Итак, критические точки 2-го рода: (т.к. ) и (т.к. не существует). Отметим эти точки на числовой оси.

В каждом из полученных интервалов определим знак второй производной:

;

;

).

Согласно вышеизложенным теоремам делаем вывод: на интервале график выпуклый, на – вогнутый, на – выпуклый.

, – точки перегиба.

, .