Частные производные и полный дифференциал функции двух переменных. Пусть есть функция от двух переменных х и у

Пусть есть функция от двух переменных х и у.

Дадим переменной х приращение , оставляя переменную у неизменной. Найдем новое значение функции .

Определение. Частным приращением функции по переменной называется разность между новым значением функции и старым значением и обозначается следующим образом:

.

Аналогично определяется и частное приращение функции z по аргументу y:

.

Дадим приращение и переменной и переменной . Найдем новое значение функции .

Определение. Полным приращением функции называется разность между новым значением функции и старым значением и обозначается следующим образом

.

Замечание. Полное приращение функции не равно сумме частных приращений, то есть

.

Определение. Частной производной функции двух переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится к нулю.

Для функции z = f (x, y) по определению имеем:

= (x, y)= (частная производная по x),

(частная производная по y).

При нахождении частной производной пользуются правилами дифференцирования функции одной переменной, считая другой аргумент постоянным.

Полный дифференциал функции z = f (x, y) вычисляется по формуле

dz = .

Функция, имеющая полный дифференциал, называется дифференцируемой.

Пример. Найти частные производные функций:

а). ; б).

а). Считая y=const, имеем:

.

При вычислении нужно считать x=const, поэтому

.

б). Если y=const, то функция z является степенной функцией аргумента x, поэтому:

.

При x=const функция z – показательная функция аргумента y, поэтому:

.