Схема исследование дифференцируемой функции на экстремум

1. Найти производную функции.

2. Найти те значения х, которые обращают эту производную в нуль. Для этого нужно приравнять найденную производную к нулю и решить уравнение с одной неизвестной.

3. Установить знак производной вблизи критических точек и определить характер экстремума.

4. Вычислить значение функции в точках максимума и минимума.

Пример. Исследовать на экстремум функцию

Функция определена и непрерывна при всех x. Найдем производную функции:

следовательно, производная не существует в точке x₁=0 и обращается в нуль, если , т.е. при x₂= -1.

Отметим эти точки на числовой оси и определим знак производной на полученных интервалах:

Точка x₂= -1 - точка максимума, т.к. производная дифференцируемой функции меняет знак с «+» на «−».

Точка x₁= 0 - точка минимума, т.к. производная дифференцируемой функции меняет знак с «–» на «+».