Пример решения типовой задачи. Исследовать функцию f(x) и построить ее график

Исследовать функцию f(x) и построить ее график

Решение:

1. Область определения функции является множество всех вещественных чисел, кроме х=1 (в этом случае знаменатель обращается в нуль), т.е.

2. Выясним, является ли данная функция четной, нечетной, общего вида:

- функция общего вида.

3. Выясним характер разрыва функции при . Для этого рассмотрим односторонние пределы функции в точке :

, .

Полученный результат говорит о том, что точка является точкой разрыва 2-го рода для данной функции, а прямая с уравнением – вертикальной асимптотой графика функции.

4.Найдем наклонные асимптоты графика функции.

Следовательно, график функции имеет наклонную асимптоту: у=х+1.

5. Найдем точки экстремума функции и определим интервалы возрастания и убывания функции.

Для нахождения точек возможного экстремума вычислим первую производную функции, прировняем ее к нулю, найдем критические точки, и интервалы возрастания и убывания.

Получаем, что функция возрастает на интервалах: , и убывает: , .

6. Найдем точки перегиба графика функции и определим интервалы выпуклости и вогнутости графика функции. Для этого найдем производную второго порядка, прировняем ее к нулю.

Т.к. вторая производная в нуль не обращается, то критических точек нет.

7. Используя полученные результаты, строим график функции

Контрольный тест после изучения главы 8 «Приложения производной»

1. Сколько точек перегиба имеет функция у = х⁴ + 4х?

а) ни одной; б) одну; в) две; г) три.

2. Функция у = х³+х …

а) возрастает на (– ∞; 0), убывает на (0; + ∞);

б) убывает на (– ∞; 0), возрастает на (0; + ∞);

в) всюду убывает;

г) всюду возрастает.

3. Функция убывает у= х^-3-3х на интервале:

а) (3; + ∞); б) (– ∞; 0)и(0; + ∞); в) (– ∞; + ∞); г) нигде.

4. Укажите точки экстремума непрерывной на всей числовой прямой функции у(х), если у=(х+1)²(х-2):

а) х = 2 – точка max; б) х = 2 – точка min;

в) х = –1 – точка min; г) точек экстремума нет.

5. Для дифференцируемой функции f(x) из приведенных условий выберите достаточное условие убывания:

6). Для дифференцируемой функции f(x) из приведенных условий выберите достаточное условие выпуклости (выпуклости вверх):

7. Для дифференцируемой функции f(x) из приведенных условий выберите необходимое условие точки перегиба: