Примеры решения типовых задач. № 1. Найти производные следующих функций:

№ 1. Найти производные следующих функций:

а) , б) , в) , г) ,

д) , е) .

Решение:

а) Перепишем данную функцию, записав слагаемые в виде степени:

.

.

б) Данная функция является показательной, следовательно по формуле

посчитаем производную:

в) Применив формулу , находим:

.

г) Дифференцируя функцию как сложную, находим производную:

д) В соответствии с формулой получаем:

.

е) По аналогии с примером в) находим:

.

№ 2. Вычислить приближённое значение .

Решение

1. Пусть , тогда получим функцию . Представим в следующем виде: , тогда и .

2. Найдём и :

3.

.

Контрольный тест после изучения главы 7 «Производная»

1. Какое из ниже перечисленных предложений определяет производную функции (когда приращение аргумента стремится к нулю)?

а) Отношение приращения функции к приращению аргумента;

б) предел отношения функции к приращению аргумента;

в) отношение предела функции к аргументу;

г) предел отношения приращения функции к приращению аргумента.

2. Первая производная функции показывает:

а) скорость изменения функции; б) направление функции;

в) приращение функции; г) приращение аргумента функции.

3. Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в некоторой точке, равен:

а) отношению значения функции к значению аргумента в этой точке;

б) значению производной функции в этой точке;

в) значению функции в этой точке;

г) значению тангенса производной функции в этой точке.

4. Укажите ВСЕ верные утверждения: если функция дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке …

а) можно провести касательную к графику функции;

б) нельзя провести касательную к графику функции;

в) функция непрерывна;

г) функция имеет экстремум.

5. Дифференциал функции равен:

а) отношению приращения функции к приращению аргумента;

б) произведению приращения функции на приращение аргумента;

в) произведению производной на приращение аргумента;

г) приращению аргумента.

6. Дифференциал постоянной равен…

а) этой постоянной;

б) произведению данной постоянной на величину dx;

в) бесконечно большой величине;

г) нулю.

7. Укажите функции, для которых существует конечная производная в каждой точке числовой оси:

а) y = lnx; б) y = |sinx|; в) y = x³; г) y = 3x.;

8. Если функция у(х) непрерывна на [a;b], дифференцируема на (a;b) и y(a) = y(b), то на (a;b) можно найти хотя бы одну точку, в которой:

а) функция не определена;

б) производная функции не существует;

в) нельзя провести касательную к графику функции;

г) производная функции обращается в ноль.

9. Какое из следующих утверждений верно для любой линейной функции?

а) дифференциал функции равен приращению функции;

б) дифференциал функции равен приращению аргумента;

в) дифференциал функции – это постоянная величина;

г) дифференциал функции равен производной этой функции.

10. Какое из следующих утверждений верно для нелинейной функции?

а) дифференциал функции равен производной этой функции;

б) дифференциал функции равен приращению аргумента;

в) дифференциал функции равен части приращения функции;

г) дифференциал функции – это постоянная величина.