Дифференцирование функции, заданной неявно

Рассмотрим случай неявно заданной функции, т.е. когда функция задаётся равенством вида . Если в это равенство подставить числовое значение и решить полученное уравнение относительно у, то при определённых условиях можно получить явное значение функции .

Например, равенство определяет явно заданную функцию . Ясно, что не всегда удаётся однозначно выразить у из равенства . Так, например, равенство определяет две явно заданные функции и . Во многих случаях бывает трудно аналитически (в виде формулы) выразить явно у, а иногда и невозможно (например, в случае ).

Для того чтобы найти производную неявной функции, необходимо найти производную от каждого слагаемого функции, учитывая, что у - это есть сложная функция от переменной х, а затем выразить .

Пример. Вычислитьпроизводную неявно-заданной функции: .

В данном случае зависимость между аргументом х и функцией у задана уравнением, которое не разрешено относительно функции у. Чтобы найти производ­ную у', следует дифференцировать по х обе части задан­ного уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение решить относительно искомой производной у'. Имеем

Из полученного равенства, связывающего х, у, и у', находим производную у':

откуда