Определение производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Определение. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если этот предел существует и конечен. Производная функции в точке обозначается символами: , или , .

Итак, по определению

. (7.1)

Производная является функцией аргумента х, поскольку, если для данного значения аргумента существует предел отношения (7.1), то только один. При конкретных числовых значениях аргумента производная – число. В случаях, когда может возникнуть сомнение относительно переменной, по которой взята производная, эта переменная указывается в виде значка внизу: , .

Рассматривая задачу о скорости, мы получили, что , т.е. . Отсюда следует механический смысл производной: скорость есть производная от пройденного пути по времени .

Если слово «скорость» понимать в более широком смысле, то можно производную функции по считать скоростью изменения переменной в точке . Поэтому понятие производной находит широкое применение при изучении скорости течения различных процессов (например, скорость охлаждения нагретого тела; скорость осуществления работы – мощность; скорость обесценивания оборудования и т.п.).

Из рассмотренной задачи о касательной следует, что , т.е. . Отсюда следует геометрический смысл производной: производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной в точке графика функции.

На основании ранее приведённых рассуждений получаем, что уравнение невертикальной касательной к кривой в её точке можно записать в виде

.

Пример. Найти производную функции .

В этом случае

, .

Следовательно, .

Основные правила дифференцирования. Таблица производных

Дифференцирование функции (отыскание производных) непосредственно на основе определения производной оказывается практически неудобной процедурой. Нахождение производных значительно упрощается, если использовать общие правила дифференцирования, к рассмотрению которых мы переходим.