Примеры решения типовых задач. №1.Вычислить пределы следующих функций:

№1. Вычислить пределы следующих функций:

а). ; б). ; в).

г). ; д). ; е). ; ж). .

а). .

Разложим квадратный трехчлен в числителе на множители по формуле где x ₁ и x ₂ – корни квадратного уравнения Разложив на множители и знаменатель, сократим дробь на получим:

б). .

Пределы числителя и знаменателя при равны нулю. Умножив числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель и затем сократив дробь на получим:

.

в). = .

Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на х⁴

г). =

Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на х⁴

= = = .

д). = .

Поделим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на х, после чего воспользуемся формулой первого замечательного предела, получим:

= .

е). .

Сделаем замену у = . Тогда при и исходный предел сводится ко второму замечательному пределу:

= = = .

ж). .

Очевидно, что

Тогда:

№ 2. Задана функция у = f (x):

1) Исследовать функцию на непрерывность на всей числовой оси.

2) Найти и классифицировать точки разрыва, если они существуют.

3) Построить график функции.

f(x) =

Решение:

Рассмотрим поведение функции в точках х = 0, х = 1.

Найдем правый и левый предел функции в точке х = 0:

и , х =0– точка разрыва первого рода т.к.пределы конечны.

Найдем правый и левый предел функции в точке х = 1:

и - один из пределов равен бесконечности, значит х =1–точка разрыва второго рода.

Контрольный тест по после изучения раздела IV «Введение в математический анализ»

1. Вычислить

1).1/2; 2). -1/3; 3). 2/3; 4).-1; 5). 0.

2. Функция , определенная на интервале , называется непрерывной в точке , если:

1). ; 2) ; 3) ; 4) .

3. Используя свойства пределов функций, найти предел

1) 2; 2) 3; 3) 21; 4)6; 5) 5.

4. Используя свойства пределов функций, найти предел

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

5. Указать первый замечательный предел.

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

6. Предел равен:

1) 0; 2) 2; 3) ; 4) 1.

7. Если функция — функция, непрерывная на отрезке , причем ее значения принадлежат отрезку ; — функция, непрерывная на отрезке , то сложная функция непрерывна в промежутке:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

8. Указать второй замечательный предел.

1) ; 2) ; 3) ;4) .

9. Предел равен:

1) ; 2) 0; 3) ; 4) 2.

10. Предел функции в точке существует и равен , если:

1) существует предел справа ;

2) существует предел слева ;

3) существуют левосторонний и правосторонний пределы.

4) существуют односторонние пределы, равные между собой, т.е. ;

11. Точкой разрыва функции является точка:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .