Теоремы о пределах

Теорема 1. Для того чтобы число А было пределом функции при , необходимо и достаточно, чтобы эта функция была представима в виде , где - б/м функция.

Теореме 2. Предел постоянной величины равен самой этой постоянной, т.е. .

Теорема 3. Если функции и имеют пределы при , то при имеют пределы также их сумма + , произведение и, при условии , частное , причём

.

Теорема 4. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

, c=const.

Теорема 5. Если для функции , и в некоторой окрестности точки a выполняется неравенство и , то .

Следствие. Если функция имеет предел при , то .

Теоремы о пределах позволяют находить пределы функций, определяемых алгебраическими действиями над переменной, предел которой задан. В простейших случаях достаточно в выражение функции вместо переменной x подставить её предельное значение. Проверим правильность этого способа на примере.

6.3. Способы раскрытия неопределённостей вида и

1. Если непосредственная подстановка в дробную функцию обращает числитель и знаменатель в нуль, то получаем неопределённость вида , это значит, что предельное значение в выражение функции можно подставлять только после предварительного сокращения данной дроби.