Предел функции. Бесконечно большие и бесконечно малые величины и их свойства

РАЗДЕЛ IV. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Глава 6. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ

Предел функции. Бесконечно большие и бесконечно малые величины и их свойства

Пусть функция определена на некотором числовом множестве и точка а является предельной точкой для множества , т.е. в любой малой окрестности точки а содержатся значения , отличные от а. Точка а может принадлежать множеству , или не принадлежать ему, следовательно, функция либо определена в точке а, либо не определена.

Определение. Функция имеет предел (конечный или бесконечный), при стремлении к а (или в точке а), если для любой, стремящейся к а последовательности значений аргумента , входящих в область определения функции, но отличных от , соответствующая последовательность значений функции , всегда стремиться к .

Этот факт символически записывается в виде

или при .

Определение. Число называется пределом функции при стремлении х к а (или в точке а), если , что , удовлетворяющих условию , имеет место неравенство .

Определение. Число называется пределом функции при стремлении x к бесконечности, если , такое что, для любых x, удовлетворяющих условию , имеет место неравенство . При этом пишут

Определение. Функция называется бесконечно малой (б/м) при x a, если , т.е. если , такое что , выполняется неравенство .

Пример. Рассмотрим функцию . Эта функция является бесконечно малой, т.к.

Доказательство: выберем произвольное число и найдем число N, такое что при всех n>N будет выполняться неравенство т.к. или , т.е. N=