Заняття 17. Частинні похідні функції кількох змінних

1. Повторити похідні основних елементарних функцій.

2. Повторити правила диференціювання функцій однієї змінної.

3. Означення частинних похідних функцій двох і трьох змінних.

4. Робота в аудиторії. За означенням знайти частинні похідні функції в точці:

1) 2)

За правилами диференціювання знайти частинні похідні функцій:

3) 4)

5) . 6) . 7) . 8) .

9) 10) 11) .

12) . 13) 14)

15) Обчислити і .

16) Нехай Обчислити визначник

.

5. Завдання для самостійної роботи. За означенням знайти частинні похідні функції в точці:

1) 2)

За правилами диференціювання знайти частинні похідні функцій:

3)

4) 5)

6) . 7) .

9) 9)

10) . 11) 12) Обчислити і .

13) Нехай Обчислити визначник

.

Заняття 18. Диференційовність і диференціали функцій кількох змінних

1. Означення диференційовності функції кількох змінних.

2. Означення повного диференціала. Частинні диференціали.

3. Зв’язок диференціала з частинними похідними.

4. Теорема про необхідну умову диференційовності функції.

5. Теорема про достатні умови диференційовності функції.

6. Робота в аудиторії. За означенням довести диференційовність функції в точці . Записати її повний і частинні диференціали у цій точці:

1) . 2) . 3) .

Довести, що функція неперервна в точці , має частинні похідні але не є диференційованою в точці :

4) . 5)

Знайти повні і частинні диференціали функцій:

6) 7) 8)

9) 10)

Знайти значення повного диференціала функції:

11) якщо

Обчислити наближено:

12) 13)

7. Завдання для самостійної роботи. За означенням довести диференційовність функції в точці . Записати її повний і частинні диференціали у цій точці:

1) . 2) .

3) .

Довести, що функція не є диференційованою в точці :

4) . 5) .

Знайти повні і частинні диференціали функцій:

6) 7) 8)

9) 10)

Знайти значення повного диференціала функції:

11) якщо

Обчислити наближено:

12) 13)

Заняття 19. Диференціювання складених функцій

1. Теорема про диференціювання складеної функції .

2. Теорема про диференціювання складеної функції .

3. Інваріантність форми диференціала.

4. Робота в аудиторії. Знайти похідні і диференціали складених функцій:

1) 2)

3) 4)

Знайти частинні похідні і повні диференціали складених функцій:

5) 6)

7)

8) Вводячи проміжні аргументи, знайти похідну функції

9) Вводячи проміжні аргументи, знайти частинні похідні функції

.

Знайти повні диференціали функцій, використовуючи інваріантність його форми:

10) 11)

12)

5. Завдання для самостійної роботи. Знайти похідні і диференціали складених функцій:

1) 2)

3) 4)

Знайти частинні похідні і повні диференціали складених функцій:

5)

6)

7) Вводячи проміжні аргументи, знайти похідну функції

8) Вводячи проміжні аргументи, знайти частинні похідні функції 8) Знайти повні диференціали функцій, використовуючи інваріантність його форми:

9) 10)

Заняття 20. Частинні похідні і диференціали вищих порядків

1. Частинні похідні вищих порядків.

2. Теорема про мішані похідні другого порядку функцій двох змінних.

3. Диференціали вищих порядків та їх зв’язок з похідними вищих порядків.

4. Формула Тейлора для функцій двох змінних.

5. Робота в аудиторії. Знайти всі частинні похідні другого порядку:

1) 2) . 3)

4) Знайти всі частинні похідні третього порядку функції

Записати диференціали першого, другого і третього порядків:

5) 6)

Розкласти за формулою Тейлора до членів другого порядку включно:

7) 8)

6. Завдання для самостійної роботи. Знайти всі частинні похідні другого порядку:

1) 2) . 3)

4) Знайти всі частинні похідні третього порядку функції

Записати диференціали першого, другого і третього порядків:

5) 6)

Розкласти за формулою Тейлора до членів другого порядку включно:

7) 8)