Заняття 8 – 9. Достатні ознаки збіжності додатних рядів

1. Додатні ряди. Необхідна і достатня умови збіжності додатного ряду.

2. Достатні ознаки збіжності додатних рядів: а) ознака порівняння, б) ознака Даламбера, в) ознака Коші, г) інтегральна ознака.

3. Робота в аудиторії. Виконати вправи:

1) За ознакою порівняння дослідити збіжність рядів:

а) , б) , в) , г) .

2) Дослідити збіжність рядів за ознакою Даламбера:

а) . б) , в) , г) .

3) Дослідити збіжність рядів за ознакою Коші:

а) . б) , в) , г) .

4) Дослідити збіжність рядів за допомогою інтегральної ознаки:

а) , б) , в) , г) .

4. Завдання для самостійної роботи.

1) За ознакою порівняння дослідити збіжність рядів:

а) , б) , в) , г) .

2) Дослідити збіжність рядів за ознакою Даламбера:

а) . б) , в) , г) .

3) Дослідити збіжність рядів за ознакою Коші:

а) . б) , в) , г) .

4) Дослідити збіжність рядів за допомогою інтегральної ознаки:

а) , б) , в) , г) .

Заняття 10. Знакозмінні ряди.

1. Означення знакозмінного ряду. Теорема Лейбніца.

2. Абсолютно збіжні й умовно збіжні ряди.

3. Теорема про збіжність абсолютно збіжного ряду.

4. Робота в аудиторії. Дослідити збіжність рядів: 1) .

2) . 3) . 4) . 5) . 6) . 7) . 8) .

5. Довести збіжність рядів і обчислити їхню суму з точністю до :

9) . 10)

Завдання для самостійної роботи. а) Дослідити збіжність рядів:

1) . 2) .

3) . 4) . 5) .

6) . 7) . 8) .

б ) Довести збіжність рядів і обчислити їхню суму з точністю до :

9) . 10)

Заняття 11. Функціональні і степеневі ряди.

1. Означення функціонального ряду. Збіжність і область збіжності функціонального ряду.

2. Рівномірна й абсолютна збіжність функціонального ряду.

3. Ознака Вейєрштрасса.

4. Означення степеневого ряду. Радіус і інтервал збіжності.

5. Теореми Абеля і Адамара.

6. Робота в аудиторії. Виконати вправи. а) Знайти область збіжності рядів та їхні суми:

1) 2) 3) .

б) Дослідити збіжність рядів:

4) . 5)

в) За ознакою Вейєрштрасса довести рівномірну збіжність функціональних рядів на вказаних множинах:

6) . 7) 8)

г) Знайти інтервал збіжності степеневого ряду і дослідити його збіжність на кінцях інтервалу: 9) . 10. .

11) . 12) .

7. Завдання для самостійної роботи. а) Знайти область збіжності рядів та їхні суми:

1) 2) 3) .

б) Дослідити збіжність рядів: 4) . 5) 6)

в) За ознакою Вейєрштрасса довести рівномірну збіжність функціональних рядів на вказаних множинах:

7) . 8)

г) Знайти інтервал збіжності степеневого ряду і дослідити його збіжність на кінцях інтервалу:

9) . 10. . 11) . 12) .

Заняття 12. Застосування степеневих рядів

1. Означення ряду Тейлора.

2. Залишковий член ряду Тейлора у формі Лагранжа й у формі Коші.

3. Теорема про необхідну й достатню умову розвинення функції в ряд Тейлора.

4. Степеневі ряди для функцій

5. Теорема Лейбніца. Наслідок.

6. Застосування степеневих рядів до обчислення значень функцій.

7. Застосування степеневих рядів до наближених обчислень визначених інтегралів.

8. Робота в аудиторії. Обчислити з вказаною точністю:

1) 2) 3)

4) 5) 6) 7)

8) 9) 10)

10. Завдання для самостійної роботи.. Обчислити з вказаною точністю:

1) 2) 3)

4) 5) 6) 7)

8) 9) 10)

Заняття 13. Ряди Фур’є.

1. Ортогональні функції. Ортогональна система функцій. Тригонометрична система функцій.

2. Ряд Фур’є. Формули для обчислення коефіцієнтів ряду Фур’є.

3. Теорема про розкладання кусково гладкої функції у ряд Фур’є.

4. Робота в аудиторії. Побудувати ряди Фур’є для функцій:

1) 2) 3)

4)

Заняття 14. Контрольна робота «Ряди та їх застосування»

Заняття 15. Функція кількох змінних

1. Означення функції двох змінних. Графік функції.

2. Означення функції трьох змінних.

3. Лінії і поверхні рівня.

4. Робота в аудиторії. Знайти область визначення функції. Побудувати її в системі координат.

1) 2) 3) 4) .

5) 6) 7)

8) . 9) ...10)

11) 12)

Намалювати сім’ю ліній рівня функції:

13) 14) 15)

5. Завдання для самостійної роботи. Знайти область визначення функції. Побудувати її в системі координат.

1) 2) 3) 4) .

5) 6) 7)

8) 9)

Намалювати сім’ю ліній рівня функції:

10) 11) 12)

Заняття 16. Границя і неперервність

1. Означення границі функції двох змінних.

2. Означення неперервності функції двох змінних у точці й на множині.

3. Повторити першу і другу важливі границі, теорему про границю суми, добутку й частки.

4. Робота в аудиторії. За означенням границі довести рівності:

1) . 2)

Знайти границі, якщо вони існують, або довести, що границі не існують:

3) 4) 5) 6)

7) 8) 9) 10)

Знайти точки розриву функції:

11) 12)

5. Завдання для самостійної роботи

За означенням границі довести рівності:

1) . 2)

Знайти границі, якщо вони існують, або доведіть, що границі не існують:

3) 4) 5)

6) 7) 8)

9) Знайти точки розриву функції

10) Довести, що функція неперервна в кожній точці координатної площини.