Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Уравнение плоскости пространстве



1-я ситуация. Известны одна точка M0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) плоскости Pи ненулевой вектор (A; B; C), перпендикулярный к этой плоскости (такой вектор называется нормальным вектором плоскости). для точек M(x; y; z) плоскости векторы и перпендикулярны, и их скалярное произведение равно нулю:

А (x - x 0) + B (y - y 0)+ C (z - z 0 )=0. (11)

Вводя постоянную D = - A x 0B y 0 C z 0, получаем общее уравнение плоскости в пространстве:

A x + B y + C z + D = 0. (12)

Это – линейное уравнение для трех переменных, причем хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

Для точек M (x; y; z), не лежащих на плоскости P, расстояние d до плоскости равно d = | A x + B y + C z + D | / (ср. с формулой (5)).

Замечание. В дальнейшем (в теме 8) используется уравнение плоскости с двумя угловыми коэффициентами. Пусть в уравнении (11) С ¹ 0, тогда уравнение плоскости приобретает вид z-z 0 =k 1 × (x-x 0 ) +k 2 × (y-y 0), где k 1 = - A / C, k 2 = - B / C.

Коэффициенты k 1 и k 2 имеют следующий геометрический смысл: k 1 (соответственно,

k 2 ) есть угловой коэффициент прямой, состоящей из точек данной плоскости с постоянным значением y = y 0 (соответственно, с постоянным значением x = x 0 ).

Свойства нормального вектора плоскости. (а) Если две плоскости параллельны, то их нормальные векторы коллинеарны (пропорциональны):

1 ´ 2 = 0. (б) Если две плоскости перпендикулярны, то их нормальные векторы

перпендикулярны: 1× 2 = 0. (в) Если a - угол между двумя плоскостями, то

cos a = | 1 × 2 | / | 1 | × | 2|.

2-я ситуация. На плоскости P известны три точки M0(x 0; y 0; z 0),

M1(x 1; y 1; z 1), M2(x 2 ; y 2; z 2), не лежащие на одной прямой. Тогда уравнение

плоскости P записывается через определитель:

=0. (13)

· Пояснение. Вектор является нормальным вектором плоскости P (см. применения векторного произведения в геометрии).

Для точек M(x; y; z) векторы и ортогональны, и их скалярное произведение равно нулю: × = = 0. Теперь формула (13) следует из формулы (15)

В частности, если известны три точки M0(a; 0; 0), M1(0; b; 0), m2(0; 0; c) плоскости, принадлежащие координатным осям O x,O y,O z, соответственно, то пишут

так называемое уравнение плоскости в отрезках: x / a + y / b + z / c = 1.





Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 187 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.007 с)...