Уравнение прямой на плоскости

Предположим, что известна одна точка M₀(x ₀; y ₀ ) на некоторой прямой L на координатной плоскости O xy, и известен ненулевой вектор (A; B), перпендикулярный к прямой (он называется нормальным вектором прямой). Для любой точки M(x; y) прямой Lвекторы и перпендикулярны, и их скалярное произведение × равно нулю:

A ×(x - x ₀) + B ×(y - y ₀ ) = 0. (3)

Отсюда следует так называемое общее уравнение прямой на плоскости:

A x + B y + C = 0. (4)

Это уравнение линейное (т.е. 1-й степени), поэтому прямую называют линией 1-го порядка. Числа A, B – коэффициенты уравнения, причем хотя бы одно из них не равно нулю, а число C обозначает постоянную величину - A x ₀ - B y ₀ в (3). Для точек M(x; y), не лежащих на прямой, расстояние d до прямой равно

d = | A x + B y + C | / (5)

· Пояснение. Пусть M₀ - произвольная точка плоскости, тогда

d= |Пр |=

=| × | | | = | A (x-x₀) + B (y –y ₀ ) | | | = | Ax + By + C | | |. · Различают прямые: (а) вертикальные, (б) невертикальные (горизонтальные или наклонные).

(а) Вертикальные прямые. Если в уравнении (4) B = 0, то уравнение принимает вид x = x ₀ , где x ₀= - C / A есть постоянная величина.

(б) Невертикальные прямые. Если в уравнении (4) B ¹ 0,то уравнение прямой приводится к т. наз. уравнению с угловым коэффициентом

y = k x + b (6)

(k = - A / B, b = - C / B).Числа k и b определяют прямую, поэтому их называют параметрами прямой. Рассматриваемая прямая – график линейной функции. Чтобы изобразить ее, нужно на координатной плоскости отметить две точки, например, (0; b) при x =0 и (1; b + k) при x =1, и соединить их с помощью линейки. Отсюда следует геометрический смысл k: k есть тангенс угла наклона j прямой L(т.е. угла между прямой Lи полуосью O x ₊ ):

k = tg j (7)

(- 90° < j < 90°, - ¥ < tg j < + ¥). Множитель k называется угловым коэффициентом прямой.

Свойства углового коэффициента. 1) Если две прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны: k ₁ = k ₂. 2) Если две прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты связаны соотношением

k ₂ = - 1 / k ₁. 3) Угол a между двумя прямыми на плоскости находится по формуле tg a = (k ₁ - k ₂) / (1 + k ₁ k ₂ ).