Для векторного произведения можно написать формулу, аналогичную (4)

´ = ê ê× _^ ; (11)

здесь вектор _^ получается проектированием вектора на плоскость, перпендикулярную к вектору ,и последующим поворотом этой проекции в указанной плоскости на 90° против часовой стрелки (если смотреть со стороны вектора ).

Если два вектора и коллинеарны, то ´ = 0. другие свойства таковы.

Свойства векторного произведения. 1) ´ = - ´ ;2) ´ k = k ´ (k - число); 3) ´ ( + ) = ´ + ´ .

Свойства 2) и 3) получаются из формулы (11) и соответствующих свойств векторных проекций. Они означают, что при векторном умножении скобки раскрываются, как при умножении чисел. Например,(2 – 3 ) ´ = 2 ´ – 3 ´ . (Однако сочетательного свойства для ´( ´ )нет.)

Из формулы (11) и определения легко вывести «таблицу» векторного умножения ортов , , правой прямоугольной системы координат (далее рассматриваются правые системы): ´ = ´ = ´ = 0;

´ = , ´ = , ´ = ; ´ =- , ´ =- , ´ =- .

Разлагая векторы и по ортам и используя «таблицу» векторного умножения ортов, получаем выражение для ´ , которое компактно записывается с помощью определителя (после раскрытия его получится вектор).

Правило. Имеет место алгебраическая формула для векторного произведения векторов (x ₁; y ₁; z ₁)и (x ₂; y ₂; z ₂):

(12)

Применения векторного произведения в геометрии.

1) Площадь параллелограмма, построенного на векторах и :

S = | ´ |. (13)

2) Площадь треугольника A₁A₂A₃: S = 1/ 2 ×| |.

3) Вектор , перпендикулярный к плоскости треугольника A₁A₂A₃: .