![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Скалярное (т.е. числовое) произведение
двух геометрических векторов
и
определяетсякакпроизведение длин этих векторов и косинуса угла между ними:
= |
| × |
|×cos j, (3)
где | | и |
| - длины (модули, абсолютные величины) векторов, а j - угол между векторами. Скалярное произведение можно выразить через (числовую) проекцию Пр
вектора
на вектор
:
= |
| × Пр
. (4)
В частности, длина вектора связана со скалярным произведением:
= |
| 2 . (5)
Механическое истолкование скалярного произведения: - это работа, которую производит источник силы
при перемещении предмета на вектор
.
(Например, источники силы трения производят отрицательную работу и, значит,
приобретают энергию - нагреваются; в этом примере cos j < 0.)
Свойства скалярного произведения: 1) =
; 2)
×(k
) =
= k (k – число); 3)
× (
+
) =
+
×
.
Свойства 2) и 3) получаются из формулы (4) и соответствующих свойств проекций. Они означают, что при скалярном умножении векторов скобки раскрываются, как при умножении чисел. Например,
(2 -3
) ×
= 2
×
– 3
×
.
Из определения (3) легко вывести «таблицу» скалярного умножения ортов ,
,
:
×
=
×
=
×
= 1,
×
=
×
=
×
=
×
=
×
=
×
= 0.
Разлагая векторы и
по ортам и используя «таблицу» скалярного умножения ортов, получаем.
Правило. Имеет место алгебраическая формула для скалярного произведения
векторов (x 1; y 1; z 1)и
(x 2; y 2 ; z 2):
×
= x 1× x 2+ y 1× y 2 + z 1× z 2. (6)
Примененияскалярного произведения в геометрии.
1) Длина вектора (x; y; z):
ï ï = (x 2+ y 2 + z 2) 1 / 2 (7)
(это - следствие формул (5) и (6)).
2)Расстояние между двумя точками A1 иA2:
ï ï =((x 2- x 1)2+(y 2- y 1)2+(z 2- z 1)2)1/2. (8)
3)Косинус угла между двумя векторами и
:
cos j = ×
/ ê
ê× ê
ê. (9)
4)Если два (ненулевых) вектора и
перпендикулярны (ортогональны),то
×
= 0. И наоборот. (Слово orthogonal переводится как «прямоугольный»).
Замечание. В задачах, в которых фигурируют только точки и векторы на координатной плоскости O xy, координата z (равная нулю) не пишется. В этой ситуации применяют формулы, аналогичные (6)-(9). Например, расстояние между двумя точками теперь вычисляется по формуле
| A1A2 |= ï ï =((x 2 - x 1)2 + (y 2- y 1)2) 1/ 2. (10)
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 203 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!