Геометрические векторы

Геометрический вектор - это направленный отрезок в пространстве. Обозначается: , где A₁ и A₂ - начальная и конечная точки вектора. Абстрактное обозначение вектора: и т.д. Механический смысл вектора : это изображение результата перемещения частицы из точки A₁ в точку A₂. По определению два вектора считаются равными, если один получается из другого параллельным переносом (сдвигом).Таким образом, вектор можно перенести в любую точку. Векторы можно умножать на числа и складывать (какперемещения); эти действия называются линейными. Векторы (ненулевые), лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, пропорциональны друг другу (или коллинеарны). Нулевой вектор пропорционален любому вектору.

Прямоугольные системы координат O xyz в трехмерном пространствебывают левые (например, оси: O x вправо, O y вперед, O z вверх) и правые (например, оси:O x вперед, O y право, O z вверх). Правая система не совмещается с левой поворотами (системы как целого) в пространстве. Каждая точка M пространства имеет три координаты (числа), которые записываются в скобках после обозначения точки: M(x;y;z).Например, чтобы изобразить точку M(-2;3;4), следует из начала координат O переместиться на 2 единицы в направлении, противоположном оси O x, затем на 3 единицы в направлении оси O y и на 4 единицы вверх; в результате мы попадем в точку M. Соответственно, каждый геометрический вектор характеризуется тремя координатами x, y, z - числовыми проекциями вектора на координатные оси. Координаты записывают в скобках после обозначения вектора: (x; y; z).Зная координаты начальной и конечной точек A₁(x ₁; y ₁; z ₁) и A₂(x ₂; y ₂; z ₂) вектора , можно найти координаты x,y,z этоговектора:

x = x ₂- x ₁, y = y ₂- y ₁, z = z ₂- z ₁. (1) Ортами прямоугольной системы координат называются три вектора длины 1 вдоль координатных осей (ед. число - орт; слово ortho означает «прямой»). Орты образуют базис в трехмерном пространстве, так как любой вектор (x; y; z) однозначно разлагается по ортам:

= x× + y × + z × . (2)

Формула (2) устанавливает взаимно однозначное соответствие между геометрическими векторами и координатными векторами (x; y; z) из R³ .

Пример. (а) Координаты середины (центра масс, центра тяжести) K отрезка

равны полусуммам одноименных координат точек A₁ и A₂.

(б) В треугольнике A₁A₂A₃ координаты точки пересечения медиан (центра масс, центра тяжести) K равны средним арифметическим значениям одноименных координат вершин.

(в) В треугольной пирамиде A₁A₂A₃A₄ координаты центра масс (центра тяжести) K равны средним арифметическим значениям одноименных координат вершин пирамиды.

· Пояснение. (а) Очевидно, = 1/2 × . Расписывая это равенство

в координатах, получим x_K - x₁ = 1/2×(x ₂ – x ₁), откуда x _K= 1/2×(x ₁ + x ₂); аналогично находятся y _K, z _K. (б) Пусть A₁B - медиана, x _B = 1/2×(x ₂+ x ₃). Как известно, точка K

делит медиану A₁B на отрезки в отношении 2:1 по длине (считая от вершины A₁). Тогда = 2/3× . Расписывая это равенство в координатах, получим x _K - x ₁ =2/3×(x _B- x ₁), откуда x _K= x ₁+2/3× x _B-2/3× x ₁= x ₁+ 2/3×1/2×(x ₂+ x ₃) - 2/3× x ₁=(x ₁+ x ₂+ x ₃)/3. Для y _K и z _K выражения аналогичны. (в) Пусть D - точка пересечения медиан треугольника A₁A₂A₃, тогда x _D=1/3×(x ₁+ x ₂+x₃). Точка K находится на отрезке A₄D и делит его на части в отношении 3:1 по длине (считая от вершины A₄).Тогда =3/4× . Расписывая это равенство в координатах, получим x _K- x ₄= 3/4 × (x _D- x ₄), откуда x _K= x ₄ +3/4× 1/3 ×(x ₁+ x ₂+ x ₃) - 3/4× x ₄ = (x ₁+ x ₂+ x ₃+ x ₄) /4. ·