Если система уравнений не имеет ранга, то она несовместна

Теорема:Если система совместна и ее ранг равен r, тогда число уравнений, остающихся в системе после преобразований методом исключения переменных, также равно r, а числа свободных неизвестных – n - r.

Система линейных однородных уравнений

Система линейных неравенств

12.1 Понятие системы линейных неравенств. Выпуклые множества.
Крайние точки.

Неравенство называется линейным, если содержит переменные только в первой степени, причем отсутствуют и произведения переменных.

Множеством решений неравенства с n неизвестными является одно из двух полупространств, разделенных гиперплоскостью, уравнение которой:

а ₁ х ₁ + а ₂ х ₂ + … + а_nх_n = а

Пусть дано неравенство с двумя переменными:

а ₁ х ₁ + а ₂ х ₂ ≤ (≥) а; а ₁, а ₂ ≠ 0 (*)

Геометрическим решением такого неравенства будет одна из полуплоскостей, на которые прямая вида а ₁ х ₁ + а ₂ х ₂ = 0 разделяет плоскость ХОУ в R2.

Если неравенство нестрогое, то точки, лежащие на данной прямой, удовлетворяют неравенству (*). Точки плоскости, лежащие выше (ниже) этой прямой, могут удовлетворять данному неравенству (*). Для этого следует выбрать любую точку плоскости, не лежащую на этой прямой, и подставить координаты этой точки в неравенство (*).

Если неравенство получается верным, то решением такого неравенства будет та часть плоскости, из которой выбиралась точка.