Экзаменационный билет № 22

1.Вариационный ряд. Показатели изменчивости: вариационный размах, среднее линейное отклонение, дисперсия, коэффициент вариации.

Пускай из генеральной совокупности была осуществлена выборка и получены следующие значения:

х1	n1
х2	n2
xi	ni

∑ n_i=n – объём выборки

Наблюдаемые значения x_i – это варианты. Ряд x_i, выстроенный по возрастанию – это вариационный ряд.

n_i – частоты. w_i=n_i/n – относительная частота.

Вариационный размах (R) – это разность м/у наибольшей и наименьшей вариантами.

R=x_max-x_min Пр.: для ряда 1 3 4 6 10 R=10-1=9

Среднее линейное отклонение - средняя арифметическая произведений абсолютных величин отклонений вариантов признака x_j от среднего арифметического и соответствующих им частот mx_j (wx_j)

, ,

Среднее абсолютное отклонение – среднее арифметическое абсолютных отклонений (θ). Служит для характеристики рассеяния вариационного ряда.

. Например, для ряда имеем:

,

Коэффициент вариации (V) – выраженное в % отношение выборочного среднего квадратического отклонения к выборочной средней:

Дисперсия D_в=σ_в² вариационного ряда называется среднее арифметическое квадратов отклонения вариант от их средней: .

2.Доверительные интервалы для оценки математического ожидания случайной величины X, имеющей нормальное распределение при неизвестном параметре σ.

Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью γ покрывает заданный параметр.

Заданы генеральная совокупность с нормальным распределением признака Х. Причём среднее квадратическое σ(х) известно. Требуется оценить, в смысле интервальной оценки, неизвестное математическое ожидание а по выборочной средней . Т.е. мы должны найти доверительный интервал, покрывающий параметр с надежностью γ.

Можно рассматривать выборочную среднюю как с/в и выборочные значения (элементы выборки признака х₁, х₂, х₃..x_n) как одинаково распределенные случайные величины Х₁, Х₂, Х₃..Х_n, т.е. математическое ожидание каждой из этих величин равно а, а среднее квадратическое равно σ.

Будем считать, что если с/в Х распределена нормально, то выборочное среднее , найденной по независимым наблюдениям, также распределено нормально.

А параметры распределения мы уже находили: М()=а, D()=D/n, σ()=σ/√n.

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение:

Решение:

Вместо σ и Х подставляем σ/√n и :

->

С надежностью γ доверительный интервал покрывает неизвестный параметр а. Точность оценки